直言三段论

直言三段论是所有前提都是直言命题的演绎推理。

例子：

所有動物都會死。

所有人都是動物。

所以，所有人都會死。

前兩個命題被分别称为大前提和小前提。如果這個三段論是有效的，這兩個前提邏輯上蘊含了最後的命題，它叫做結論。結論的真實性建立在前提的真實性和它們之間的聯繫之上：中項在前提中必須周延（distribute）至少一次，形成在結論中的主詞和謂词之間的連接。即使直言三段論是有效的，但如果有前提為假的話結論仍可能是假，例如以下的三段論：

所有的魚都在水裡游。

烏鴉是魚。

所以，所有的烏鴉都在水裡游。

此為第一格AAA三段論，為有效，但是因為前提是錯的（烏鴉事實上不是魚），因而導致結論為假。

语气和格

對立四邊形圖，揭示傳統邏輯四種命題語氣的關係（紅色表示非空，黑色表示空）

三段論形式如下：

大前提：所有M是P

小前提：所有S是M

結論：所有S是P

其中S代表結論的主詞（Subject），P代表結論的謂詞（Predicate），M代表中詞（Middle）。

三段論的命題可分為全称（universal）、特称（particular），及肯定、否定，組合起來有以下四類語氣（Mood）：

類型	代號	形式	範例
全稱肯定型	A（SaP）	所有S是P	所有人是會死的
全稱否定型	E（SeP）	沒有S是P	沒有人是完美的
特稱肯定型	I（SiP）	有些S是P	有些人是健康的
特稱否定型	O（SoP）	有些S不是P	有些人不是健康的

三段論中，結論中的謂詞稱作大詞（P，或稱大項），包含大詞在內的前提稱作大前提；結論中的主詞稱作小詞（S，或稱小項），包含小詞在內的前提稱作小前提；沒有出現在結論，卻在兩個前提重複出現的稱作中詞（M，或稱中項）。大詞、中詞、小詞依不同排列方式，可分成四種格（Figure）：

	第1格	第2格	第3格	第4格
大前提	M-P	P-M	M-P	P-M
小前提	S-M	S-M	M-S	M-S
結論	S-P	S-P	S-P	S-P

將以上整合在一起，三段論的大前提、小前提、結論分別可為A、E、I、O型命題之一，又可分為4格，故總共有256種三段論（若考慮大前提與小前提對調，便有512種，但邏輯上是相同的）。

三段論依語氣與格的分類縮寫，例如AAA-1（也可以寫成1-AAA）代表「大前提為A型，小前提為A型，結論為A型，第1格」的三段論。

此外，三段論的四種格之间可相互转换：

• 第1格：对换大前提的前后两项的位置就变成第2格，对换小前提的前后两项的位置就变成第3格。
• 第2格：对换大前提的前后两项的位置就变成第1格，对换小前提的前后两项的位置就变成第4格。
• 第3格：对换大前提的前后两项的位置就变成第4格，对换小前提的前后两项的位置就变成第1格。
• 第4格：对换大前提的前后两项的位置就变成第3格，对换小前提的前后两项的位置就变成第2格。

E和I命题对换前后两项的位置而保持同原命题等价。A命题不能对换前后两项的位置，但可以在前项确实有元素存在的前提下，转换成弱于原命题的I命题（E命题亦可在后项确实有元素存在的前提下，转换成弱于原命题的O命题）。O命题不能对换前后两项的位置。

有效性

考虑各种直言三段论的有效性將是非常冗长耗時的。幸运的是前人想出了三个可供选择的方法来找出有效性。方法之一是记住下一章节中列出的所有論式。

還可以通过构造文氏图的方法得到有效形式。因为有三种项，文氏图需要三个交叠的圓圈来表示每一个类。首先，为小项构造一个圓圈。临近小项的圓圈的是同小項有着交叠的大项的圓圈。在这两个圓圈之上是中项的圓圈。它应当在三个位置有着交叠：大项，小项和大项与小项交叠的地方。一個三段论是有效的，其必然条件是通过图解两个前提得出结论的真实性。永不图解结论，因为结论必须从前提推导出来。总是首先图解全称命题。这是通过对一个类在另一个类中没有成员的区域加黑影来实现的。所以在前面例子的AAA-1形式中大前提“所有M是P”中，对M不与P交叠的所有区域加黑影，包括M与S交叠的部分。接着对小前提重复同样的过程。从这两个前提中可推导出在类S中所有成员也是类P的成员。但是，不能推出类P的所有成员都是类S的成员。

作为文氏圖方法的另一个例子，考虑形式EIO-1的三段论。它的大前提是“没有M是P”，它的小前提是“有些S是M”，它的结论是“有些S不是P”。这个三段论的大项是P;它的小项是S，它的中项是M。大前提在图中通过对交集M ∩ P加阴影表示。小前提不能通过对任何区域加黑影表示。转而，我们可以在交集S ∩ M的非黑影部分使用x符号来表示“有些S是M”。（注意：黑影区域和存在量化区域是互斥的）。接着因为存在符号位于S内但在P外，所以结论“存在一些S不是P”是正确的。

本文最後一節列出了所有24個有效論式的文氏圖。

最后一种方法是记住下面非形式表述的幾條规则以避免謬論。尽管文氏图对于诠释目的是好工具，有人更喜欢用這些规则来检验有效性。

基本規則：

1. 結論中周延的詞必須在前提中周延（謬誤：大詞不當、小詞不當）（若不能確定所有提及的集合非空，則一個項在結論中周延，若且唯若該項在前提中周延）
2. 中詞必須周延至少一次（謬誤：中詞不周延）（若不能確定所有提及的集合非空，則中詞必須剛好周延一次）
3. 結論中否定命題的數目必須和前提中否定命題的數目相等：
   1. 二前提皆肯定，則結論必須為肯定（謬誤：肯定前提推得否定結論）
   2. 一前提是否定，則結論必須為否定（謬誤：否定前提推得肯定結論）
   3. 二前提皆否定，則三段論必無效（謬誤：排它前提謬誤）
4. 結論中特稱命題的數目必須和前提中特稱命題的數目相等：
   1. 二前提皆全稱，則結論必須為全稱（此條件適用於不能確定所有提及的集合非空的情況）
   2. 一前提是特稱，則結論必須為特稱
   3. 二前提皆特稱，則三段論必無效

若一個三段論式滿足以上的所有規則，就必定有效。

其他檢查：

• 如果語境上不能假設所有提及的集合非空，部分推論將會無效（謬誤：存在謬誤）
• 必須包含嚴格的三個詞，不多不少。且須注意所有關鍵詞和結構的語義是否一致（謬誤：四詞謬誤、歧義謬誤）

有效三段論式

有加括號者必須假設所有提及的集合非空才有效。

唯有第一格的所有有效三段論式的結論涵蓋了AEIO全部四種命題，第二格的所有有效三段論式皆為否定結論（E或O），第三格的所有有效三段論式皆為特稱結論（I或O），第四格的所有有效三段論式皆為否定結論或特稱結論（E、I或O）。

1-AAA, (1-AAI), 1-EAE, (1-EAO), 1-AII, 1-EIO
2-AEE, (2-AEO), 2-EAE, (2-EAO), 2-AOO, 2-EIO
(3-AAI), (3-EAO), 3-AII, 3-IAI, 3-OAO, 3-EIO
(4-AAI), 4-AEE, (4-AEO), (4-EAO), 4-IAI, 4-EIO

在全部256種三段論式中，有24種有效，但是如果不能確定所有提及的集合為非空，則只有15種有效。

常犯的無效三段論式

1-AEE, 1-AEO, 1-EEA, 1-EEE, 1-EEI, 1-AIA, 1-IAA, 1-IAI, 1-III, 1-AOO, 1-OAO, 1-IEO
2-AAA, 2-AAI, 2-AII, 2-IAI, 2-OAO, 2-IEO, 2-EOI, 2-OEI, 2-IOO, 2-OIO
3-AAA, 3-AEE, 3-EAE, 3-AEO, 3-AOO, 3-AIA, 3-IAA, 3-III, 3-EOI, 3-OEI, 3-IEO
4-AAA, 4-EAE, 4-AII, 4-IEO

三段论式列表

总共有19个有效的论式（算结论弱化（全称弱化为特称）的5个论式則為24個有效论式，其中每一格刚好各有6個有效论式），為便於記憶，中世纪的学者將這些有效論式分別取了對應的拉丁語名字，每個名字的元音即是對應的語氣，例如Barbara代表AAA。

第1格	第2格	第3格	第4格
Barbara	Cesare	Darapti	Bramantip
Celarent	Camestres	Disamis	Camenes
Darii	Festino	Datisi	Dimaris
Ferio	Baroco	Felapton	Fesapo
		Bocardo	Fresison
		Ferison

经典三段论式

下面列出的是亚里士多德的《前分析篇》中关于前3个格的14个三段论式。

第1格

• AAA（Barbara）

所有M是P.
所有S是M.
∴所有S是P.

${\cfrac {\forall x(M(x)\rightarrow P(x))\qquad \forall x(S(x)\rightarrow M(x))}{\forall x(S(x)\rightarrow P(x))}}$

• EAE（Celarent）

没有M是P.
所有S是M.
∴没有S是P.

${\cfrac {\forall x(M(x)\rightarrow \lnot P(x))\quad \forall x(S(x)\rightarrow M(x))}{\forall x(S(x)\rightarrow \lnot P(x))}}$

• AII（Darii）

所有M是P.
有些S是M.
∴有些S是P.

${\cfrac {\forall x(M(x)\rightarrow P(x))\qquad \exists x(S(x)\land M(x))}{\exists x(S(x)\land P(x))}}$

• EIO（Ferio）

没有M是P.
有些S是M.
∴有些S不是P.

${\cfrac {\forall x(M(x)\rightarrow \lnot P(x))\quad \exists x(S(x)\land M(x))}{\exists x(S(x)\land \lnot P(x))}}$

第2格

• EAE（Cesare）

没有P是M.
所有S是M.
∴没有S是P.

${\cfrac {{\cfrac {\forall x(P(x)\rightarrow \lnot M(x))}{\forall x(M(x)\rightarrow \lnot P(x))}}\qquad {\begin{matrix}\quad \\\forall x(S(x)\rightarrow M(x))\end{matrix}}}{\forall x(S(x)\rightarrow \lnot P(x))}}$

• AEE（Camestres）

所有P是M.
没有S是M.
∴没有S是P.

${\cfrac {{\cfrac {\forall x(P(x)\rightarrow M(x))}{\forall x(\lnot M(x)\rightarrow \lnot P(x))}}\quad {\begin{matrix}\quad \\\forall x(S(x)\rightarrow \lnot M(x))\end{matrix}}}{\forall x(S(x)\rightarrow \lnot P(x))}}$

• EIO（Festino）

没有P是M.
有些S是M.
∴某些S不是P.

${\cfrac {{\cfrac {\forall x(P(x)\rightarrow \lnot M(x))}{\forall x(M(x)\rightarrow \lnot P(x))}}\qquad {\begin{matrix}\quad \\\exists x(S(x)\land M(x))\end{matrix}}}{\exists x(S(x)\land \lnot P(x))}}$

• AOO（Baroco）

所有P是M.
某些S不是M.
∴某些S不是P.

${\cfrac {{\cfrac {\forall x(P(x)\rightarrow M(x))}{\forall x(\lnot M(x)\rightarrow \lnot P(x))}}\quad {\begin{matrix}\quad \\\exists x(S(x)\land \lnot M(x))\end{matrix}}}{\exists x(S(x)\land \lnot P(x))}}$

第3格

• AAI（Darapti）

所有M是P.
所有M是S.
∴有些S是P.
（这种形式需要假定某些M确实存在。）

${\cfrac {{\cfrac {\forall x(M(x)\rightarrow P(x))\qquad \forall x(M(x)\rightarrow S(x))}{\cfrac {\forall x(M(x)\rightarrow (P(x)\land S(x)))}{\forall x(M(x)\rightarrow (S(x)\land P(x)))}}}\qquad {\begin{matrix}\quad \\\quad \\\quad \\\exists xM(x)\end{matrix}}}{\exists x(S(x)\land P(x))}}$

• EAO（Felapton）

没有M是P.
所有M是S.
∴有些S不是P.
（这种形式需要假定某些M确实存在。）

${\cfrac {{\cfrac {\forall x(M(x)\rightarrow \lnot P(x))\qquad \forall x(M(x)\rightarrow S(x))}{\cfrac {\forall x(M(x)\rightarrow (\lnot P(x)\land S(x)))}{\forall x(M(x)\rightarrow (S(x)\land \lnot P(x)))}}}\quad {\begin{matrix}\quad \\\quad \\\quad \\\exists xM(x)\end{matrix}}}{\exists x(S(x)\land \lnot P(x))}}$

• IAI（Disamis）

有些M是P.
所有M是S.
∴有些S是P.

${\cfrac {\exists x(M(x)\land P(x))\qquad \forall (M(x)\rightarrow S(x))}{\exists x(S(x)\land P(x))}}$

• OAO（Bocardo）

某些M不是P.
所有M是S.
∴某些S不是P.

${\cfrac {\exists x(M(x)\land \lnot P(x))\quad \forall (M(x)\rightarrow S(x))}{\exists x(S(x)\land \lnot P(x))}}$

• AII（Datisi）

所有M是P.
有些M是S.
∴有些S是P.

${\cfrac {{\begin{matrix}\quad \\\forall x(M(x)\rightarrow P(x))\end{matrix}}\qquad {\cfrac {\exists x(M(x)\land S(x))}{\exists x(S(x)\land M(x))}}}{\exists x(S(x)\land P(x))}}$

• EIO（Ferison）

没有M是P.
有些M是S.
∴某些S不是P.

${\cfrac {{\begin{matrix}\quad \\\forall x(M(x)\rightarrow \lnot P(x))\end{matrix}}\quad {\cfrac {\exists x(M(x)\land S(x))}{\exists x(S(x)\land M(x))}}}{\exists x(S(x)\land \lnot P(x))}}$

增补的论式

第4格由亞里士多德的學生泰奧弗拉斯托斯補充。

第4格

• AEE（Camenes）

所有P是M.
没有M是S.
∴没有S是P.

${\cfrac {\forall x(P(x)\rightarrow M(x))\qquad \forall x(M(x)\rightarrow \lnot S(x))}{\cfrac {\forall x(P(x)\rightarrow \lnot S(x))}{\forall x(S(x)\rightarrow \lnot P(x))}}}$

• AAI（Bramantip）

所有P是M.
所有M是S.
∴有些S是P.
（这种形式需要假定某些P确实存在）

${\cfrac {{\cfrac {\forall x(P(x)\rightarrow M(x))\qquad \forall x(M(x)\rightarrow S(x))}{\forall x(P(x)\rightarrow S(x))}}\quad {\cfrac {\exists xP(x)}{\exists x(P(x)\land P(x))}}}{\exists x(S(x)\land P(x))}}$

• EAO（Fesapo）

没有P是M.
所有M是S.
∴有些S不是P.
（这种形式需要假定某些M确实存在）

${\cfrac {{\cfrac {{\cfrac {\forall x(P(x)\rightarrow \lnot M(x))}{\forall x(M(x)\rightarrow \lnot P(x))}}\qquad {\begin{matrix}\quad \\\forall x(M(x)\rightarrow S(x))\end{matrix}}}{\cfrac {\forall x(M(x)\rightarrow (\lnot P(x)\land S(x)))}{\forall x(M(x)\rightarrow (S(x)\land \lnot P(x)))}}}\qquad {\begin{matrix}\quad \\\quad \\\quad \\\exists xM(x)\end{matrix}}}{\exists x(S(x)\land \lnot P(x))}}$

• IAI（Dimaris）

有些P是M.
所有M是S.
∴有些S是P.

${\cfrac {{\cfrac {\exists x(P(x)\land M(x))}{\exists x(M(x)\land P(x))}}\qquad {\begin{matrix}\quad \\\forall x(M(x)\rightarrow \ S(x))\end{matrix}}}{\exists x(S(x)\land P(x))}}$

• EIO（Fresison）

没有P是M.
有些M是S.
∴有些S不是P.

${\cfrac {{\cfrac {\forall x(P(x)\rightarrow \lnot M(x))}{\forall x(M(x)\rightarrow \lnot P(x))}}\qquad {\cfrac {\exists x(M(x)\land S(x))}{\exists x(S(x)\land M(x))}}}{\exists x(S(x)\land \lnot P(x))}}$

结论弱化的论式

在假定结论的主词确定有成员存在的前提下，可弱化论式中的结论A为I，结论E为O，它们也可以被增补为有效论式，从而得到所有可能的24有效论式。它们是： AAI-1（弱化的AAA-1），EAO-1（弱化的EAE-1），EAO-2（弱化的EAE-2），AEO-2（弱化的AEE-2），AEO-4（弱化的AEE-4）。

对附加的谓词演算公式的注解

按照布尔逻辑和集合代数的观点，三段论可以解释为：集合（类）S和集合M有某种二元关系，并且集合P和集合M有某种二元关系，从而推论出集合S和集合P是否存在进而为何种可确定的二元关系。两个集合之间的二元关系用直言命题可确定的有四种：

• A（全称肯定）命题：所有X是Y，确定了X“包含于”Y的关系，X是Y的子集，Y是X的超集，这是一种偏序关系，所有X是Y並且所有Y是Z則所有X是Z，所有X是Y並且所有Y是X則X同於Y。
• E（全称否定）命题：所有X不是Y，确定了X和Y是“无交集”的关系，这是一种对称关系，所有X不是Y同于所有Y不是X。（X与Y无交集，Y与Z无交集，不能推出X与Z无交集）。
• I（特称肯定）命题：有些X是Y，确定了X和Y是“有交集”的关系，这是一种对称关系，有些X是Y同于有些Y是X。（X与Y有交集，Y与Z有交集，不能推出X与Z有交集）。
• O（特称否定）命题：有些X不是Y，确定了X“不包含于”Y的关系。（从X不包含于Y不能推出X包含Y）。

将参与推理的命题分为两类：规则和事实，全称命题是规则，而特称命题只陈述事实：

• A命题：所有X是Y，它允许两个推理方向，从肯定的X推出肯定的Y，从否定的Y推出否定的X。
• E命题：所有X不是Y，它允许两个推理方向，从肯定的X推出否定的Y，从肯定的Y推出否定的X。
• I命题：有些X是Y，它确定了有些个体存在于X与Y的交集中。
• O命题：有些X不是Y，它确定了有些个体存在于X-Y的差集中。

两个规则可以推出一个新规则，一个规则和一个存在事实可以推出一个新的存在事实，两个存在事实什么也推不出来。A命题可以和所有四种命题一起工作。E命题还可以和I命题一起工作。两个E命题无法推理。E命题和O命题不能一起工作，因为推出的是两个否定的合取，不属于这四种命题之一（此为互斥前提謬誤），IE的組合都得出P不包含於S結論，不屬於四種命題之一。有效的論式在AA、AE、EA、AI、IA、EI、AO、OA這8種組合和4種格共32種情況中檢驗。

首先是推出新规则的推理。第1格和第4格的中項分別位於兩前提的主詞和謂詞位置上，所以是可直接推出結論。AA组合推出A，其中只有AAA-1是合理的，它推论出S包含於P的关系；第4格AA組合推论出P包含於S的关系，这不是四种命题之一，只能在P确实有元素存在的前提下弱化为AAI-4。AE及EA组合推出E，其中EAE-1和AEE-4是直接推出的，其中AEE-4需要對換結論E命題的主詞和謂詞位置，EAE-2和AEE-2分別是它們二者在對換前提E命題的主詞和謂詞位置後的等價者。

AA和EA的第3格組合通過合成推理在中項確定有元素存在情況下形成AAI-3和EAO-3。EAO-4是EAO-3對換前提E命題的主詞和謂詞位置後的等價者。AE第3格組合得出 P不包含於S的結論，不屬於四種命題之一。

其他论式都是一个全称命题作为规则，而另一个特称命题提出两个事实的合取，规则消去一个事实形成一个新事实，从而得到一个旧事实和新事实合取的新存在事实。AII-1、IAI-4、EIO-1是直接推出的，其中IAI-4需要對換結論I命題的主詞和謂詞位置，AII-3、IAI-3、EIO-2、EIO-3、EIO-4分別是它們三者在對換前提E命題的主詞和謂詞位置後的等價者。OAO-3是直接推出的，它沒有等價者。AOO-2沒有等價者，這裡對A命題採用了否定後件推理，歷史上採用反證法，假定結論O命題不成立，它與大前提A命題推出與小前提O命題矛盾的結果，所以結論成立。

歷史上，對於AAI-4、AAI-3、EAO-3、EAO-4，如它們的拉丁語名字中的p所指示的，通過把A命题是被弱化为I命题的方式引入某个集合确实有元素存在的前提。后人认为它們不是直言的（直言的意思就是无条件），这个问题被称为存在性引入问题。

最後，有全稱結論的5個論式AAA-1、EAE-1、EAE-2、AEE-2、AEE-4的弱化結論可得出AAI-1、EAO-1、EAO-2、AEO-2、AEO-4，也可算入有效論式中。

24論式圖示

下表以文氏圖展示24個有效直言三段論，不同欄表示不同的前提，不同外框顏色表示不同的結論，需要存在性預設的推理以虛線與斜體字標示。

格	A ∧ A		A ∧ E				A ∧ I		A ∧ O		E ∧ I
	AAA	AAI	AEE	AEO	EAE	EAO	AII	IAI	AOO	OAO	EIO
1	Barbara	Barbari			Celarent	Celaront	Darii				Ferio
2			Camestres	Camestros	Cesare	Cesaro			Baroco		Festino
3		Darapti				Felapton	Datisi	Disamis		Bocardo	Ferison
4		Bamalip	Calemes	Calemos		Fesapo		Dimatis			Fresison

参见

• 直接推理
• 传统逻辑
• 谓词演算

引用

• Aristotle, Prior Analytics. transl. Robin Smith（Hackett, 1989）ISBN 0-87220-064-7.
• Blackburn, Simon, 1996. "Syllogism" in the Oxford Dictionary of Philosophy. Oxford University Press. ISBN 0-19-283134-8.
• Broadie, Alexander, 1993. Introduction to Medieval Logic. Oxford University Press. ISBN 0-19-824026-0.
• Irving Copi, 1969. Introduction to Logic, 3rd ed. Macmillan Company.
• Hamblin, Charles L., 1970. Fallacies, Methuen : London, ISBN 0-416-70070-5. Cf. on validity of syllogisms: "A simple set of rules of validity was finally produced in the later Middle Ages, based on the concept of Distribution.“
• Jan Łukasiewicz, 1987 (1957). Aristotle's Syllogistic from the Standpoint of Modern Formal Logic. New York: Garland Publishers. ISBN 0824069242. OCLC 15015545.

外部連結

• Robin Smith. Aristotle's Logic. 扎尔塔, 爱德华·N (编). 《斯坦福哲学百科全书》. 
• Terence Parsons. The Traditional Square of Opposition. 扎尔塔, 爱德华·N (编). 《斯坦福哲学百科全书》. 
• Henrik Lagerlund. Medieval Theories of the Syllogism. 扎尔塔, 爱德华·N (编). 《斯坦福哲学百科全书》. 
• Aristotle's Prior Analytics: the Theory of Categorical Syllogism （页面存档备份，存于互联网档案馆） an annotated bibliography on Aristotle's syllogistic
• Abbreviatio Montana （页面存档备份，存于互联网档案馆） article by Prof. R. J. Kilcullen of Macquarie University on the medieval classification of syllogisms.
• The Figures of the Syllogism （页面存档备份，存于互联网档案馆） is a brief table listing the forms of the syllogism.
• www.fibonicci.co.uk/syllogisms some fun syllogism tests/quizzes
• Syllogistic Reasoning in Buddhism - Example & Worksheet