祖暅原理

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gèng原理,又名等幂等积定理[1],是指所有等高处横截面积相等的两个同高立体,其体积也必然相等的定理。祖暅之《綴術》有云:「緣冪勢既同,則積不容異[2]。」

该原理最早由中国古代数学家刘徽提出[1]南北朝时又被祖冲之的儿子祖暅提出[3]。祖冲之兩父子采用这一原理,求出了牟合方盖的体积,进而算出体积。在欧洲17世纪意大利数学家卡瓦列里亦發現相同定理,所以西方文献一般称该原理为卡瓦列里原理[3][4]

在現代的解析幾何測度應用中,祖暅原理是富比尼定理中的一個特例。卡瓦列里沒有對這條的嚴謹證明,只發表在1635年的Geometria indivisibilibus以及1647年的Exercitationes Geometricae中,用以證明自己的Methode der Indivisibilien。以此方式可以計算某些立體的體積,甚至超越了阿基米德克卜勒的成績。這個定理引發了以面積計算體積的方法並成為了積分發展的一個重要步驟。

簡單應用[编辑]

圓柱體[编辑]

圓柱體

如果垂直轉軸切開圓柱體,設r為半徑,可以得到橫切面面積為\pi r^2的圓形。根據祖暅原理,圓柱體的體積相等於底面積相等於圓面積\pi r^2、高為h的長方體,所以半徑為r和高為h的圓柱體體積是\pi r^2\cdot h

半球體[编辑]

垂直(上)以及水平(下)切開半球體和對照立體

從其中一層以垂直表面的高h橫切半徑為r的半球體,根據勾股定理,半徑為:

r'=\sqrt{r^2-h^2}.

所以橫切面面積是:

\pi\cdot(r')^2=\pi\cdot(r^2-h^2).

對照立體是一個擁有與半球體相同橫切面積和高的立體,中間有一個圓錐體。高h的對照立體環形切面有內圓周r以及外圓周h,其面積如下:

\pi\cdot r^2-\pi\cdot h^2=\pi\cdot(r^2-h^2).

因此兩個立體都滿足祖暅原理並且有相同體積。對照立體的體積便是圓柱體和圓錐體體積之差,所以

\pi\cdot r^2\cdot r-\frac13\cdot\pi\cdot r^2\cdot r=\frac23\pi\cdot r^3.

成功利用這條有名的方程計算出半球體體積,從而導出球體體積公式。

微積分[编辑]

兩條方程式積分後的差與兩條方程式之差的積分

祖暅原理背後的概念經常出現在微積分中。作為維度的一個例子,因此兩條方程式在兩個交點間的面積可以利用以下方程獲得:

\int_a^b(f(x)-g(x))\,\mathrm dx=\int_a^bf(x)\,\mathrm dx-\int_a^bg(x)\,\mathrm dx

實質上表示了函數圖形fg之間的A_1面積與函數圖形x\mapsto f(x)-g(x)下的A_2相同,而後者的交點距離與前者相等。由於現代數學中的積分和面積的互相關係,而體積可以通過微分計算,使祖暅原理變得更為少用。

參考文獻[编辑]

  1. ^ 1.0 1.1 王树和. 《数学演义》. 科学出版社. : P34. ISBN 9787030218377. 
  2. ^ 高红成,王瑞《祖暅原理的形成及其现实教育意义》 出自《商洛师范专科学校学报》2001年04期
  3. ^ 3.0 3.1 王树和. 《数学演义》. 科学出版社. : P36. ISBN 9787030218377. 
  4. ^ http://www.hssz.net.cn/xyp/Article_Show.asp?ArticleID=551