本页使用了标题或全文手工转换

离散傅里叶级数

维基百科,自由的百科全书
跳转至: 导航搜索

离散傅里叶级数(DFS)与连续傅立叶级数相比有很大的区别。最大的不同在于离散时间傅里叶级数的系数序列是周期的。

离散傅里叶级数的公式[编辑]

周期为N的周期序列,其离散傅里叶级数为

其中,DFS的逆变换序列:

(k=<N>表示对一个周期N内的值求和)

进一步分析[编辑]

连续周期信号的离散化(下面的讨论中,):

  1. 首先,在傅里叶级数一文中,我们知道函数是对于任意的T是周期为T的函数,然而其对应的离散信号则不一定是周期的,可以证明,只有当是有理数时,离散信号f[n]才是周期函数。
  2. 其次,在满足条件1的前提下,连续周期信号对应的离散信号对k也具有周期性,其周期为N,即中只有N个不同的序列。
  3. 从离散时间傅里叶变换的系数公式我们可以看出,也是对k周期为N的函数。
  4. 离散傅里叶变换实际上是离散时间傅里叶级数在主值区间上的取值。我们注意到,离散傅里叶变换是对非周期函数f[n]进行的,如果我们对f[n]的定义拓广为周期函数f'[n]:。并且当时,f'[n]实际上就是f[n],那么我们现在可以求出f'[n]的傅里叶级数。同样,当时无穷级数变成了积分,得到的结果是一个连续的周期函数(正如离散傅里叶变换一文中所述),这就是f[n]的离散时间傅里叶变换。这时,只需在它的主值区间上采样,就可以得到离散傅里叶变换的变换序列。

参阅[编辑]