秘書問題

在機率及賽局理論上，秘书问题（Secretary problem），类似的名称有相亲问题、止步问题、见好就收问题、苏丹的嫁妆问题、挑剔的求婚者问题等，屬於最佳停止問題。内容是这样的：要聘请一名秘书，有 n 个应聘者。每次面试一人，面试后就要及时决定是否聘他，如果当时决定不聘他，他便不会回来。面试后总能清楚了解应聘者的合适程度，并能和之前的每个人做比较。问什么样的策略，才使最佳人选被选中的概率最大。

求解最优策略

这个问题的最优解是一个停止规则。在这个规则里，面试官会拒绝头 r - 1 个应聘者（令他们中的最佳人选为 应聘者 M），然后选出第一个比 M 好的应聘者。可见最优策略包含于这个系列的策略中。（如果M在所有n个应聘者中也是最好的一个，那么这个策略将选不出任何人选）对于任意的截断值 r，最佳人选被选中的概率是：

${\begin{aligned}P(r)&=\sum _{i=1}^{n}P\left({\text{applicant }}i{\text{ is selected}}|{\text{applicant }}i{\text{ is the best}}\right)\times P\left({\text{applicant }}i{\text{ is the best}}\right)\\&=\left(\sum _{i=1}^{r-1}0\times {\frac {1}{n}}\right)+\left(\sum _{i=r}^{n}P\left(\left.{\begin{array}{l}{\text{the best of the first }}i-1{\text{ applicants}}\\{\text{is in the first }}r-1{\text{ applicants}}\end{array}}\right|{\text{applicant }}i{\text{ is the best}}\right)\times {\frac {1}{n}}\right)\\&=\sum _{i=r}^{n}{\frac {r-1}{i-1}}\times {\frac {1}{n}}\quad =\quad {\frac {r-1}{n}}\sum _{i=r}^{n}{\frac {1}{i-1}}.\end{aligned}}$

求和符号内概率的计算是基于：如果应聘者 i 是（所有应聘者中的）最佳人选，他被选中当且仅当头 i - 1 个应聘者中的最佳人选处在头 r - 1 个被拒绝的应聘者中。令 n 趋近无穷大，把 x 表示为 r/n 的极限，令 t 为 i/n，dt 为 1/n，总和可以近似为如下积分：

$P(x)=x\int _{x}^{1}{\frac {1}{t}}\,dt=-x\ln(x).$

令 P(x) 对 x 的导数为 0，解出 x，我们得到最优的 x 等于 1/e。从而，当 n 增大时，最优截断值趋近于 n/e 最佳人选被选中的概率为 1/e。

对于较小的 n 值， 最优的 r 也可以通过动态规划方法得到。下表给出了一些最优的 r 值：

n	1	2	3	4	5	6	7	8	9
r	1	1	2	2	3	3	3	4	4
P	1.000	0.500	0.500	0.458	0.433	0.428	0.414	0.410	0.406

此問題的变种

• 選擇者可選多於一人
• 求職者的數目未知
• 求職者之間的關係可影響選擇
• 被拒絕的求職者有一定機率能被叫回來
• 選擇者滿足於次好的人

參考

譯自本頁英文版

• T. S. Ferguson. "Who solved the secretary problem?" Statistical science, volume 4, pp.282-296. 1988.
• 數學傳播第二卷第三期 : 海外學人相親記 [1] （页面存档备份，存于互联网档案馆）

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