秩 (线性代数)

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线性代数
向量 · 矩阵  · 行列式  · 线性空间

线性代数中,一个矩阵A列秩A线性獨立纵列的极大数目。类似地,行秩A的线性獨立的横行的极大数目。

矩阵的列秩和行秩总是相等的,因此它们可以简单地称作矩阵A。通常表示为r(A),rk(A)或rank A

行秩列秩相等性[编辑]

矩阵的行秩与列秩相等,是线性代数基本定理的重要组成部分. 其基本证明思路是,矩阵可以看作线性映射的变换矩阵,列秩为像空间的维度,行秩为非零原像空间的维度,因此列秩与行秩相等,即像空间的维度与非零原像空间的维度相等(这里的非零原像空间是指约去了零空间后的商空间:原像空间)。这从矩阵的奇异值分解就可以看出来。

给出这一结果的两种证明. 第一个证明是简短的,仅用到向量的线性组合的基本性质. 第二个证明利用了正交性[1]. 第一个证明利用了列空间的基, 第二个证明利用了行向量空间的基. 第一个证明适用于定义在标量域上的矩阵,第二个证明适用于内积空间。二者都适用于实或复的欧氏空间,也都易于修改去证明当A是线性变换的情形.

证明一[编辑]

是一个的矩阵,其列秩为. 因此矩阵的列空间的维度是. 令的列空间的一组基,构成矩阵的列向量,并使得的每个列向量是个列向量的线性组合. 由矩阵乘法的定义,存在一个矩阵, 使得. (元素是的第个列向量的点积.)

现在,由于, 的每个行向量是的行向量的线性组合,这意味着的行向量空间被包含于的行向量空间之中. 因此的行秩 ≤ 的行秩. 但仅有行, 所以的行秩 ≤ = 的列秩. 这就证明了的行秩 ≤ 的列秩.

把上述证明过程中的“行”与“列”交换,利用对偶性质同样可证的列秩 ≤ 的行秩。更简单的方法是考虑的转置矩阵,则的列秩 = 的行秩 ≤ 的列秩 = 的行秩. 这证明了的列秩等于的行秩. 证毕.

证明二[编辑]

矩阵,其行秩是. 因此的行向量空间的维度是,设的行向量空间的一组基. 如果把这组基当作原像列向量看待,则向量集是线性独立的。 这是因为对一组标量系数,如果:

其中. 则可以推出有两个事实: (a) 行向量空间的线性组合, 即属于的行向量空间;(b) 由于 = 0, 正交于的所有行向量,从而正交于的行向量空间的所有向量. 事实(a)与(b)结合起来,则正交于自身,这意味着 = 0. 由的定义:

再由的行向量空间的一组线性独立的基,可知. 因而是线性独立的.

的列空间中的向量. 因此的列空间中个线性独立的向量. 所以的列向量空间的维数(的列秩)必然不小于. 这证明了的行秩r ≤ 的列秩. 把这一结果应用于的转置矩阵可以得到: 的列秩 = 的行秩 ≤ 列秩 = 的行秩. 这证明了的列秩等于的行秩,证毕.

最后, 还可以证明rk(A) = rk(A*), 其中A*A的共轭转置或称施密特转置. 当A的元素都是实数, 这一结果变为rk(A) = rk(AT). 然而对于复系数矩阵,rk(A) = rk(A*)并不等价于行秩等于列秩, 需要用到上述两个证明.

证明三[编辑]

A是一个m×n矩阵. 定义rk(A)为A的列秩,A*A的共轭转置或称施密特转置. 首先可知A*Ax = 0当且仅当Ax = 0.

A*Ax = 0 ⇒ x*A*Ax = 0 ⇒ (Ax)*(Ax) = 0 ⇒ ‖Ax‖2 = 0 ⇒ Ax = 0,

其中‖·‖是欧氏范数. 这说明A的零空间与A*A的零空间相同. 由秩-零化度定理, 可得rk(A) = rk(A*A). A*A的每一个列向量是A*的列向量的线性组合. 所以A*A的列空间是A*的列空间的子空间. 从而rk(A*A) ≤ rk(A*). 即: rk(A) = rk(A*A) ≤ rk(A*). 应用这一结果于A*可或得不等式: since (A*)* = A, 可写作rk(A*) ≤ rk((A*)*) = rk(A). 这证明了rk(A) = rk(A*). 证毕.

可替代定义[编辑]

用向量组的秩定义[编辑]

向量组的秩:在一个 m线性空间 E 中,一个向量组 的秩表示的是其生成的子空间的维度。考虑 m × n 矩阵 ,将 A 的秩定义为向量组 F 的秩,则可以看到如此定义的 A 的秩就是矩阵 A 的线性无关列向量的极大数目,即 A列空间维度(列空间是由A的纵列生成的Fm的子空间)。因为列秩和行秩是相等的,我们也可以定义A的秩为A行空间的维度。

用线性映射定义[编辑]

考虑线性映射

对于每个矩阵A都是一个线性映射,同时,对每个的 线性映射f,都存在矩阵A使得。也就是说,映射

是一个同构映射。所以一个矩阵A的秩还可定义为的像的维度(像与核的讨论参见线性映射)。矩阵A称为变换矩阵。这个定义的好处是适用于任何线性映射而不需要指定矩阵,因为每个线性映射有且仅有一个矩阵与其对应。秩还可以定义为nf的维度;秩-零化度定理声称它等于 f的像的维度。

性质[编辑]

我们假定A是在域F上的m × n矩阵并描述了上述线性映射。

  • m × n矩阵的秩不大于mn的一个非负整数,表示為 rk(A) ≤ min(m, n)。有尽可能大的秩的矩阵被称为有满秩;类似的,否则矩阵是秩不足(或称为“欠秩”)的。
  • 只有零矩阵有秩0
  • A的秩最大为min(m,n)
  • f单射,当且仅当A有秩n(在这种情况下,我们称A有“列满秩”)。
  • f满射,当且仅当A有秩m(在这种情况下,我们称A有“行满秩”)。
  • 在方块矩阵A (就是m = n)的情况下,则A可逆的,当且仅当A有秩n(也就是A有满秩)。
  • 如果B是任何n × k矩阵,则AB的秩最大为A的秩和B的秩的小者。即:
推广到若干个矩阵的情况,就是:秩(A1A2...Am)≤min(秩(A1),秩(A2),...秩(Am))
证明:
考虑矩阵的秩的线性映射的定义,令A、B对应的线性映射分别为fg,则AB表示复合映射f·g,它的象Im f·gg的像Im g在映射f作用下的象。然而Im g是整个空间的一部分,因此它在映射f作用下的象也是整个空间在映射f作用下的象的一部分。也就是说映射Im f·gIm f的一部分。对矩阵就是:秩(AB)≤秩(A)。
对于另一个不等式:秩(AB)≤秩(B),考虑Im g的一组:(e1,e2,...,en),容易证明(f(e1),f(e2),...,f(en))生成了空间Im f·g,于是Im f·g维度小于等于Im g的维度。对矩阵就是:秩(AB)≤秩(B)。
因此有:秩(AB)≤min(秩(A),秩(B))。若干个矩阵的情况证明类似。
作为"<"情况的一个例子,考虑积
两个因子都有秩1,而这个积有秩0。
可以看出,等号成立当且仅当其中一个矩阵(比如说A)对应的线性映射不减少空间的维度,即是单射,这时A是满秩的。于是有以下性质:
  • 如果B是秩nn × k矩阵,则
  • 如果C是秩ml × m矩阵,则
  • A的秩等于r,当且仅当存在一个可逆m × m矩阵X和一个可逆的n × n矩阵Y使得
这裡的Ir指示r × r 单位矩阵
证明可以通过高斯消去法构造性地给出。
  • 西尔维斯特不等式: 如果 A 是一个 m × n 的矩阵且 Bn × k 的, 则
[i]
这是下一个不等式的特例.
  • 这个不等式是由Frobenius提出的: 如果 AB, ABCBC 有定义, 则
[ii]
  • 子加性: rank(A + B) ≤ rank(A) + rank(B) when A and B are of the same dimension. As a consequence, a rank-k matrix can be written as the sum of k rank-1 matrices, but not fewer.
  • 矩阵的秩加上矩阵的零化度等于矩阵的纵列数(这就是秩-零化度定理)。
  • 如果 A实数上的矩阵,那么 A 的秩和它对应格拉姆矩阵的秩相等。于是,对于实矩阵
.
This can be shown by proving equality of their null spaces. Null space of the Gram matrix is given by vectors x for which . If this condition is fulfilled, also holds .[2]
  • 如果 A复数上的矩阵且 A* 表示 A 的共轭转置(i.e., A伴随), 则

向量组的线性相关性[编辑]

维列向量排列成的矩阵A,这个对应矩阵的秩即为原向量组的秩。

原向量组线性相关的充分必要条件为:

如果

则向量组线性无关。另外,不存在

特殊的,若向量的个数大于向量的维数,则根据:

这个向量组必然线性相关。

计算[编辑]

计算矩阵A的秩的最容易的方式是高斯消去法,即利用矩阵的初等变换生成一个行阶梯型矩阵,由于矩阵的初等变换不改变矩阵的秩,因此A行梯阵形式有同A一样的秩。经过初等变换的矩阵的非零行的数目就是原矩阵的秩。

例如考虑4 × 4矩阵

我们看到第2纵列是第1纵列的两倍,而第4纵列等于第1和第3纵列的总和。第1和第3纵列是线性无关的,所以A的秩是2。这可以用高斯算法验证。它生成下列A的行梯阵形式:

它有两个非零的横行。

在应用在计算机上的浮点数的时候,基本高斯消去(LU分解)可能是不稳定的,应当使用秩启示(revealing)分解。一个有效的替代者是奇异值分解(SVD),但还有更少代价的选择,比如有支点(pivoting)的QR分解,它也比高斯消去在数值上更强壮。秩的数值判定要求对一个值比如来自SVD的一个奇异值是否为零的依据,实际选择依赖于矩阵和应用二者。

应用[编辑]

计算矩阵的秩的一个有用应用是计算线性方程组解的数目。如果系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩,则方程组只要有一个解。在这种情况下,它有精确的一个解,如果它的秩等于方程的数目。如果增广矩阵的秩大于系数矩阵的秩,则通解有k个自由参量,这裡的 k是在方程的数目和秩的差。否则方程组是不一致的。

控制论中,矩阵的秩可以用来确定线性系统是否为可控制的,或可观察的。

註解[编辑]

  1. ^ 证明: 对这个不等式使用秩-零化度定理
    .
  2. ^ Proof: The map
    is well-defined and injective. We thus obtain the inequality in terms of dimensions of kernel, which can then be converted to the inequality in terms of ranks by the rank–nullity theorem. Alternatively, if M is a linear subspace then dim(AM) ≤ dim(M); apply this inequality to the subspace defined by the (orthogonal) complement of the image of BC in the image of B, whose dimension is rk(B) – rk(BC); its image under A has dimension rk(AB) – rk(ABC)

参考文献[编辑]

  1. ^ Mackiw, G. (1995). A Note on the Equality of the Column and Row Rank of a Matrix. Mathematics Magazine, Vol. 68, No. 4
  2. ^ Mirsky, Leonid. An introduction to linear algebra. Dover Publications. 1955. ISBN 978-0-486-66434-7. 
  • Horn, Roger A. and Johnson, Charles R. Matrix Analysis. Cambridge University Press, 1985. ISBN 978-0-521-38632-6.
  • Kaw, Autar K. Two Chapters from the book Introduction to Matrix Algebra: 1. Vectors [1] and System of Equations [2]

参见[编辑]