积分判别法

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无穷级数
无穷级数

積分檢驗是用來測試無限級數是否收歛的方法。若區間的值是正的,且單調下降,則

級數收歛当且仅当積分有限。

它最早可追溯到14世紀印度數學家Madhava和他的Kerala學派。在歐洲17、18世紀,馬克勞林奧古斯丁·路易·柯西重新發現了這個方法。

证明[编辑]

考虑如下积分

注意单调递减,因此有:

进一步地,考虑如下求和:

中间项的和为:

对上述不等式取极限,有:

因此,若积分收敛,则无穷级数收敛;若积分发散,则此级数发散。

例子[编辑]

调和级数

是发散的,因为它的原函数是自然对数

,当时。

而以下的级数

则对所有的ε > 0都是收敛的,因为:

,对于所有

參考[编辑]

  • Knopp, Konrad, "Infinite Sequences and Series", Dover publications, Inc., New York, 1956. (§ 3.3) ISBN 0486601536
  • Whittaker, E. T., and Watson, G. N., A Course in Modern Analysis, fourth edition, Cambridge University Press, 1963. (§ 4.43) ISBN 0521588073