积分变换

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積分變換(integral transform)是數學中作用于函数的算子,用以處理微分方程等問題。常見的有傅里葉變換拉普拉斯變換等。

概述[编辑]

以一變數函數 為例, 經過一積分轉換 得到

其中 是个确定的二元函数, 稱為此積分變換的核函數(kernel function)或(nucleus)。当选取不同的积分域和变换核时,就得到不同名称的积分变换。 称为象原函数, 称为 的象函数,在一定条件下,它们是一一对应而变换是可逆的。

有些積分變換有相對應的反積分變換(inverse transform),使得

稱為反核(inverse kernel)。

積分變換表[编辑]

积分变换 符号 核K f(t) t1 t2 反核K−1 u1 u2
阿贝尔积分变换英语Abel transform F, f u [1] t
相关 Legendre 变换(Associated Legendre transform)
傅里叶变换
傅里叶正弦变换 on , real-valued
傅里叶余弦变换 on , real-valued 0 0
汉克尔变换 0 0
Hartley变换英语Hartley transform
Hermite变换英语Hermite_transform
希尔伯特变换
Jacobi变换英语Jacobi_transform
Laguerre变换英语Laguerre_transform
拉普拉斯变换 e−ut 0
Legendre变换英语Legendre_transform_(integral_transform)
梅林变换 tu−1 0 [2]
双边拉普拉斯变换 e−ut
泊松核英语Poisson kernel 0
拉东变换
魏尔斯特拉斯变换英语Weierstrass transform
X-ray变换英语X-ray_transform
狄拉克δ函数

在反積分轉換中, 常數c 由積分函數決定。

参见[编辑]

  1. ^ Assuming the Abel transform is not discontinuous at .
  2. ^ Some conditions apply, see Mellin inversion theorem for details.