积分因子

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积分因子是一种用来解微分方程的方法。

方法[编辑]

考虑以下形式的微分方程:

其中的未知函数,是给定的函数。

我们希望把左面化成两个函数的乘积的导数的形式。

考虑函数。我们把(1)的两边乘以

如果左面是两个函数的乘积的导数,那么:

两边积分,得:

其中是一个常数。于是,

为了求出函数,我们把(3)的左面用乘法定则展开:

与(2)比较,可知满足以下微分方程:

两边除以,得:

等式(5)是对数导数的形式。解这个方程,得:

我们可以看到,的性质在解微分方程中是十分重要的。称为积分因子

例子[编辑]

解微分方程

我们可以看到,

两边乘以,得:

可得

一般的应用[编辑]

积分因子也可以用来解非线性微分方程。例如,考虑以下的非线性二阶微分方程:

可以看到,是一个积分因子:

利用复合函数求导法则,可得:

因此

利用分离变量法,可得:

这就是方程的通解。

参见[编辑]

参考文献[编辑]

  • Adams, R. A. Calculus: A Complete Course, 4th ed. Reading, MA: Addison Wesley, 1999.