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积分第一中值定理

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中值定理

相关条目微积分学

积分第一中值定理的内容为:

为一连续函数 不改变符号,那么存在一点 使得

事实上,可以证明,上述的中值点必能在开区间内取得[1],见下方中值点在开区间内存在的证明。

证明[编辑]

因为 闭区间上的连续函数, 取得最大值 最小值 。于是

不等式积分,我们有

,则 可取 上任一点。

,那么

因为 是连续函数,则必存在一点 ,使得

中值点在开区间内存在的证明[编辑]

已知上连续,设

上连续,在内可导,应用拉格朗日中值定理,可得:

,其中

所以

参考文献[编辑]

  1. ^ 华东师范大学数学系. 数学分析 上册 第三版. 高等教育出版社. 2006: 第219页. 

由微积分基本性质,当被积函数在[a,b]上连续时,原函数在[a,b]上是可导的,而拉格朗日定理的假设是“f(x)在(a,b)内可导" 所以原文中“知F(x)在[a,b]上连续,在[a,b]内可导,应用拉格朗日中值定理,可得:”应该改为 “知F(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,应用拉格朗日中值定理,可得:” 否则无法排除ξ只取在a或者b上的可能

此说法并不严密。现根据以上对原定理的证明,来解释为什么可以改为 。 因为 上连续,所以上有最大值 和最小值 。设,如果,则是常值函数,任取即可。如果 ,由于函数连续且有一点使 ,所以由积分性质有 ,即

  

同理可得 ,故有

  

由连续函数的介值定理,至少存在一点(或),使得,即

   

注:以上内容参考延边大学出版社《数学分析辅导及习题精解 华东师大.第四版 上册》

另请参见[编辑]

中值定理