稠密集

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拓扑学数学的其它相关领域,给定拓扑空间 X 及其子集 A ,如果对于 X 中任一点 xx 的任一邻域A交集不为空,则 A 称为在 X稠密。直观上,如果 X 中的任一点 x 可以被A中的点很好的逼近,则称 AX稠密

等价地说,AX稠密当且仅当 X 中唯一包含 A闭集X 自己。或者说,A闭包X ,又或者 A 的补集的内部空集

度量空间中的稠密集[编辑]

度量空间(E,d)中,也可以如下定义稠密集。当 X 的拓扑由一个度量给定时,在XA闭包\overline{A}AA 中元素的所有数列极限(它的极限点)的集合的并集,

\overline{A} = A \cup \{ \lim_n a_n : \forall n \ge 0, \ a_n \in A \}.

那么当

 \overline{A} = X,

AX中是稠密的。

注意 A \subseteq \{ \lim_n a_n : \forall n \ge 0, \ a_n \in A \}。如果\{U_n\}是一个完备度量空间X中稠密开集上的序列,则\cap^{\infty}_{n=1} U_nX上依然稠密。这个事实与贝尔纲定理中的一个形式等价。

例子[编辑]

参见[编辑]

參考文獻[编辑]