積性函數

積性函數在數論中是指一個定義域為正整數$\mathbb {Z} ^{+}$的算術函數$f$，滿足：$f(1)=1$，並且當$a$和$b$互質時， $$f(ab)=f(a)f(b).$$

若函數$f$對不互質的正整數$a$和$b$，也有$f(ab)=f(a)f(b)$（也就是對任意正整數$a$和$b$），則進一步稱此函數為完全積性函數。

在數論以外的數學領域中，所提及的積性函數通常為完全積性函數。此條目則只討論數論中的積性函數。

示例

以下為積性函數：

• 歐拉φ函數：記作$\varphi (n)$，計算與$n$互質之正整數個數。
• 默比烏斯函數：記作$\mu (n)$，關於有無平方數因數和質因數個數。
• 最大公因數：記作$\gcd(n,k)$。在給定正整數$k$時，函數$\gcd(\cdot ,k):\mathbb {Z} ^{+}\to \mathbb {Z} ^{+}$。
• 除數函數：記作$\sigma _{k}(n)$。對於任意複數$k$，$\sigma _{k}(n)$為所有$n$的正因數的$k$次方的加總，即

$$\sigma _{k}(n)=\sum _{d\mid n}d^{k}.$$

值得注意的是，$\sigma _{0}(n)$等同於$n$的正因數個數$d(n)$；$\sigma _{1}(n)$（簡記為$\sigma (n)$）表示$n$的所有正因數之和。

• 劉維爾函數：$\lambda (n)$，關於$n$的質因數個數。
• 函數$\gamma (n)=(-1)^{\omega (n)}$，其中加性函數$\omega (n)$表示$n$的相異質因數個數。

以下為完全積性函數：

• 恆等常數函數：記作$1(n)$，定義$1(n)=1$。
• 單位函數：記作$\mathrm {Id} (n)$，定義$\mathrm {Id} (n)=n$。
• 冪函數：記作$\mathrm {Id} _{k}(n)$。對於任意複數$k$，定義$\mathrm {Id} _{k}(n)=n^{k}$。值得注意的是，有$\mathrm {Id} _{0}(n)=1(n)$；而$\mathrm {Id} _{1}(n)=\mathrm {Id} (n)$。
• 勒讓德符號：記作$\left({\tfrac {n}{p}}\right)$。在給定積質數$p$時，函數$\left({\tfrac {\cdot }{p}}\right):\mathbb {Z} ^{+}\to \mathbb {Z} ^{+}$。
• 卷積單位元：記作$\varepsilon (n)$，定義$\varepsilon (n)={\begin{cases}1,&n=1\\0,&n>1\end{cases}}$。
• 所有狄利克雷特徵。

性質

給定積性函數$f$，正整數$n$與其質因數分解$\prod _{i=1}^{k}{p_{i}}^{\alpha _{i}}$，則函數值$f(n)$由質因數的冪的函數值所決定，即 $$f(n)=\prod _{i=1}^{k}f\left({p_{i}}^{\alpha _{i}}\right)=f({p_{1}}^{\alpha _{1}})\cdots f({p_{k}}^{\alpha _{k}}).$$

此時$f(p^{\alpha })=f(p)^{\alpha }$，若且唯若$f$為完全積性函數，並可將函數值寫作： $$f(n)=\prod _{i=1}^{k}f\left({p_{i}}\right)^{\alpha _{i}}.$$

狄利克雷卷積

兩個積性函數的狄利克雷卷積必定是積性函數。因此，以卷積為群的運算，所有積性函數組成了一個子群。但注意兩個完全積性函數的卷積未必是完全積性的。