立方和

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立方和的簡單圖解

立方和是數學公式的一種,它屬於因式分解乘法公式恆等式,被普遍使用。立方和是指一個立方數,加上另一個立方數,即是它們的總和。公式如下:

解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML(建议用于现代的浏览器和辅助工具):从服务器“/mathoid/local/v1/”返回无效的响应(“Math extension cannot connect to Restbase.”):): a^{3}+b^{3}\equiv (a+b)(a^{2}-ab+b^{2})\,\!

同時

立方和被因式分解後,答案分別包含二項式三項式,與立方差相同。此公式對幾何學工程學等有很大作用。因此,立方和(因式分解的分類)被編入中國大陸(上海版除外)、香港臺灣國中必修課程。

驗證[编辑]

主驗證[编辑]

驗證此公式,可透過因式分解,首先運用的原理,設以下公式:

然後代入:

透過因式分解,可得:

解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML(建议用于现代的浏览器和辅助工具):从服务器“/mathoid/local/v1/”返回无效的响应(“Math extension cannot connect to Restbase.”):): =a(a^{2}-ab+b^{2})+b(a^{2}-ab+b^{2})\,\!

這樣便可驗證:

和立方驗證[编辑]

透過和立方可驗證立方和的原理:

解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML(建议用于现代的浏览器和辅助工具):从服务器“/mathoid/local/v1/”返回无效的响应(“Math extension cannot connect to Restbase.”):): =x^{3}+3x^{2}y+3xy^{2}+y^{3}\,\!

那即是只要減去便可得到立方和,可設:

右邊的方程 解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML(建议用于现代的浏览器和辅助工具):从服务器“/mathoid/local/v1/”返回无效的响应(“Math extension cannot connect to Restbase.”):): =(x+y)^{3}-3x^{2}y-3xy^{2}\,\!

運用因式分解的方法:

解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML(建议用于现代的浏览器和辅助工具):从服务器“/mathoid/local/v1/”返回无效的响应(“Math extension cannot connect to Restbase.”):): =(x+y)(x^{2}-xy+y^{2})\,\!

這樣便可驗證出:解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML(建议用于现代的浏览器和辅助工具):从服务器“/mathoid/local/v1/”返回无效的响应(“Math extension cannot connect to Restbase.”):): x^{3}+y^{3}=(x+y)(x^{2}-xy+y^{2})\,\!

幾何驗證[编辑]

圖象化

透過繪立體的圖像,也可驗證立方和。根據右圖,設兩個立方,總和為:

把兩個立方體對角貼在一起,根據虛線,可間接得到:

要得到解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML(建议用于现代的浏览器和辅助工具):从服务器“/mathoid/local/v1/”返回无效的响应(“Math extension cannot connect to Restbase.”):): x^{3}+y^{3} ,可使用的空白位置。該空白位置可分割為3個部分:

  • 解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML(建议用于现代的浏览器和辅助工具):从服务器“/mathoid/local/v1/”返回无效的响应(“Math extension cannot connect to Restbase.”):): x\times (x+y)\times y
  • 解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML(建议用于现代的浏览器和辅助工具):从服务器“/mathoid/local/v1/”返回无效的响应(“Math extension cannot connect to Restbase.”):): (x+y)\times y\times x

把三個部分加在一起,便得:

之後,把減去它,便得: 解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML(建议用于现代的浏览器和辅助工具):从服务器“/mathoid/local/v1/”返回无效的响应(“Math extension cannot connect to Restbase.”):): =(x+y)^{3}-3xy(x+y)\,\! 上公式發現兩個數項皆有一個公因子,把它抽出,並得:

可透過和平方公式,得到:

解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML(建议用于现代的浏览器和辅助工具):从服务器“/mathoid/local/v1/”返回无效的响应(“Math extension cannot connect to Restbase.”):): =(x+y)(x^{2}+2xy+y^{2}-3xy)\,\!

這樣便可證明解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML(建议用于现代的浏览器和辅助工具):从服务器“/mathoid/local/v1/”返回无效的响应(“Math extension cannot connect to Restbase.”):): x^{3}+y^{3}=(x+y)(x^{2}-xy+y^{2})\,\!

反驗證[编辑]

透過也可反驗證立方和。

解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML(建议用于现代的浏览器和辅助工具):从服务器“/mathoid/local/v1/”返回无效的响应(“Math extension cannot connect to Restbase.”):): (a+b)(a^{2}-ab+b^{2})\,\!

以上計算方法亦可簡化為一個表格:

x) 解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML(建议用于现代的浏览器和辅助工具):从服务器“/mathoid/local/v1/”返回无效的响应(“Math extension cannot connect to Restbase.”):): +a^{2}
解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML(建议用于现代的浏览器和辅助工具):从服务器“/mathoid/local/v1/”返回无效的响应(“Math extension cannot connect to Restbase.”):): +b^{3}

這樣便可證明解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML(建议用于现代的浏览器和辅助工具):从服务器“/mathoid/local/v1/”返回无效的响应(“Math extension cannot connect to Restbase.”):): a^{3}+b^{3}=(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})\,\!

例题讲解[编辑]

  1. 因式分解
    • 把兩個數項都轉為立方:
    解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML(建议用于现代的浏览器和辅助工具):从服务器“/mathoid/local/v1/”返回无效的响应(“Math extension cannot connect to Restbase.”):): =(3m)^{3}+5^{3}\,\!
    • 運用立方和可得:
  2. 解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML(建议用于现代的浏览器和辅助工具):从服务器“/mathoid/local/v1/”返回无效的响应(“Math extension cannot connect to Restbase.”):): 8m^{3}+64n^{3} 因式分解
    • 把兩個數項都轉為立方:
    解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML(建议用于现代的浏览器和辅助工具):从服务器“/mathoid/local/v1/”返回无效的响应(“Math extension cannot connect to Restbase.”):): =(2m)^{3}+(4n)^{3}\,\!
    • 運用立方和便可得:
    解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML(建议用于现代的浏览器和辅助工具):从服务器“/mathoid/local/v1/”返回无效的响应(“Math extension cannot connect to Restbase.”):): {\displaystyle =(2m + 4n)\left(4m^2 - 8mn + 16n^2\right) \,\!}
    • 但這個並非答案,因為答案仍可被因式分解:
    解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML(建议用于现代的浏览器和辅助工具):从服务器“/mathoid/local/v1/”返回无效的响应(“Math extension cannot connect to Restbase.”):): {\displaystyle =(2)(m+2n)(4)\left(m^2 - 2mn + 4n^2\right) \,\!}
    • 亦可使用另一個方法來減省步驟。首先把公因子抽出:
    解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML(建议用于现代的浏览器和辅助工具):从服务器“/mathoid/local/v1/”返回无效的响应(“Math extension cannot connect to Restbase.”):): {\displaystyle =8\left[m^3 + (2n)^3\right] \,\!}
    • 直接使用立方和,並得:

立方差[编辑]

立方差也可以使用立方和來驗證,例如:

把兩個數項都轉為立方數:

運用負正得負,可得:

然後運用立方和,可得:

這個方法更可驗證到立方差的公式是

兩組立方和的數[编辑]

有些整數可以有兩個立方和組合,而最少的,已是過千的1729。它是兩組不同的立方和:

解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML(建议用于现代的浏览器和辅助工具):从服务器“/mathoid/local/v1/”返回无效的响应(“Math extension cannot connect to Restbase.”):): 1729=1^{3}+12^{3}\,\!
解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML(建议用于现代的浏览器和辅助工具):从服务器“/mathoid/local/v1/”返回无效的响应(“Math extension cannot connect to Restbase.”):): 1729=9^{3}+10^{3}\,\!

下一個同樣有兩個立方和組合的整數是4104

解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML(建议用于现代的浏览器和辅助工具):从服务器“/mathoid/local/v1/”返回无效的响应(“Math extension cannot connect to Restbase.”):): 4104=2^{3}+16^{3}\,\!

首十個兩組立方和的數:1729、4104、13832、20683、32832、39312、40033、46683、64232、65728

參考文獻[编辑]