第一可數空間

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拓撲學上,第一可數空間(First-countable space)是指有可數局部基拓撲空間,即對於x \in X,存在x的開鄰域序列U_1,U_2,U_3,...,使得對於任意的鄰域V,存在整數i使得U_i \subseteq V

例子與反例[编辑]

大部份數學中的常見空間為第一可數的,像是所有度量空間皆為第一可數,要證明此點,只要注意到所有以x為中心,半徑為1/nn為正整數的開球,形成了於x點的可數局部基。

一個無限集(像是實數線)的餘有限拓撲則非第一可數。在商空間\mathbb{R}/\mathbb{N}中,所有自然數被視為一個點,此空間也非第一可數。

第一可數性比第二可數性來得弱,所有第二可數空間皆為第一可數,但不可數的離散空間是第一可數而非第二可數。

性質[编辑]

  • 第一可數性可傳遞至子空間。
  • 在第一可數空間中,序列緊緻可數緊緻等價。
  • 任何第一可數空間的可數為第一可數,但不可數積則未必。