第二基本形式

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微分几何中,第二基本形式second fundamental form)是三维欧几里得空间中一个光滑曲面的切丛上一个二次形式,通常记作 II。与第一基本形式一起,他们可定义曲面的外部不变量,主曲率。更一般地,若在黎曼流形中一个光滑超曲面上选取了一个光滑单位法向量场,则可定义这样一个二形式。

R3 中曲面[编辑]

引论[编辑]

R3 中一个参数曲面 S 的第二基本形式由高斯引入。最先假设曲面是两次连续可微函数的像,z = f(x,y),且平面 z = 0 与曲面在原点相切。则 f 以及关于 xy偏导数在 (0,0) 皆为零。从而 f 在 (0,0) 处的泰勒展开以二次项开始:

 z=L\frac{x^2}{2} + Mxy + N\frac{y^2}{2} + 高阶项,

则在 (x, y) 坐标中在原点处的第二基本形式是二次型:

 L dx^2 + 2M dx dy + N dy^2. \,

S 上一个光滑点 p,总可以选取坐标系使得坐标的 z-平面与 S 切于 p,然后可以相同的方式定义第二基本形式。

经典记号[编辑]

一个一般参数曲面的第二基本形式定义如下。设 r=r(u,v) 是 R3 中一个正则参数曲面,这里 r 是两个变量的光滑向量值函数。通常记 r 关于 uv 的偏导数为 rurv。参数化的正则性意味着 rurvr 的定义域中任何 (u,v) 是线性无关的。等价地,叉积 ru × rv 是曲面的一个非零法向量。参数化这样就定义了一个单位法向量场 n

\mathbf{n} = \frac{\mathbf{r}_u\times\mathbf{r}_v}{|\mathbf{r}_u\times\mathbf{r}_v|}.

第二基本形式通常写成

\mathrm{II} = Ldu^2 + 2Mdudv + Ndv^2, \,

在基 {ru, rv} 下的矩阵是

 \begin{bmatrix}
L&M\\
M&N
\end{bmatrix}.

在参数化 uv-平面上一个给定点处系数 L, M, Nr 在那个点的二次偏导数到 S 的法线上投影给出,利用点积可计算如下:

L = \mathbf{r}_{uu} \cdot \mathbf{n}, \quad
M = \mathbf{r}_{uv} \cdot \mathbf{n}, \quad
N = \mathbf{r}_{vv} \cdot \mathbf{n}.

现代记法[编辑]

一个通常曲面 S 的第二基本形式定义如下:设 r=r(u1,u2) 是 R3 中一个正则参数曲面,这里 r 是两个变量的光滑向量值函数。通常记 r 关于 uα 的偏导数为 rα,α = 1,2。参数化的正则性意味着 r1r2r 的定义域上是线性无关的,从而在每一点张成 S 的切空间。等价地,叉积 r1 × r2 是曲面的一个非零法向量。这样参数化定义了一个单位法向量场 n

\mathbf{n} = \frac{\mathbf{r}_1\times\mathbf{r}_2}{|\mathbf{r}_1\times\mathbf{r}_2|}.

第二基本形式通常写作

\mathrm{II} = b_{\alpha, \beta} du^{\alpha} du^{\beta}. \,

上式使用了爱因斯坦求和约定

在参数 (u1, u2)-曲面给定点处系数 bα,βr 的二次偏导数到 S 的法线的投影给出,利用点积可写成:

b_{\alpha, \beta} = \mathbf{r}_{\alpha, \beta} \cdot \mathbf{n}.

黎曼流形中的超曲面[编辑]

欧几里得空间中,第二基本形式由

I\!I(v,w) = \langle d\nu(v),w\rangle

给出,这里 \nu高斯映射,而 d\nu\nu微分视为一个向量值微分形式,括号表示欧几里得空间的度量张量

更一般地,在一个黎曼流形上,第二基本形式是描述一个超曲面形算子(记作 S)的等价方法,

\mathrm I\!\mathrm I(v,w)=\langle S(v),w\rangle= -\langle \nabla_v n,w\rangle=\langle n,\nabla_v w\rangle,

这里 \nabla_v w 表示周围空间的共变导数n 超曲面上一个法向量场。如果仿射联络无挠的,则第二基本形式是对称的。

第二基本形式的符号取决于 n 的方向的选取。(这称为曲面的余定向,对欧几里得空间中的曲面,等价于给定曲面的一个定向)。

推广为任意余维数[编辑]

第二基本形式可以推广到任意余维数。在这种情形下,它是切空间上取值于法丛的一个二次型,可以定义为

\mathrm{I}\!\mathrm{I}(v,w)=(\nabla_v w)^\bot,

这里 (\nabla_v w)^\bot 表示共变导数 \nabla_v w 到法丛的正交投影。

欧几里得空间中,子流形曲率张量可以描述为下列公式:

\langle R(u,v)w,z\rangle =\langle \mathrm I\!\mathrm I(u,z),\mathrm I\!\mathrm I(v,w)\rangle-\langle \mathrm I\!\mathrm I(u,w),\mathrm I\!\mathrm I(v,z)\rangle.

这叫做高斯方程,可以视为高斯绝妙定理的推广。在一个标准正交基中第二基本形式的本征值,是曲面的主曲率。一组正交规范本征向量称为主方向

对一般的黎曼流形必须添加周围空间的曲率;如果 N 是嵌入黎曼流形 (M,g) 中一个流形,则 N 在诱导度量下的曲率张量 R_N 可以用第二基本形式与 M 的曲率张量 R_M 表示出来:

\langle R_N(u,v)w,z\rangle = \langle R_M(u,v)w,z\rangle+\langle \mathrm I\!\mathrm I(u,z),\mathrm I\!\mathrm I(v,w)\rangle-\langle \mathrm I\!\mathrm I(u,w),\mathrm I\!\mathrm I(v,z)\rangle.

相关条目[编辑]

参考文献[编辑]

  • Guggenheimer, Heinrich. Chapter 10. Surfaces//Differential Geometry. Dover. 1977. ISBN 0-486-63433-7. 
  • Kobayashi, Shoshichi and Nomizu, Katsumi. Foundations of Differential Geometry, Vol. 2. Wiley-Interscience. 1996 (New edition). ISBN 0471157325. 
  • Spivak, Michael. A Comprehensive introduction to differential geometry (Volume 3). Publish or Perish. 1999. ISBN 0-914098-72-1. 

外部链接[编辑]