等于

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数学上,两个数学对象是相等的,若他们在各个方面都相同。这就定义了一个二元谓词等于,写作“=”;x = y 当且仅当xy 相等。通常意义上,等于是通过两个元素间的等价关系来构造的。将两个表达式用等于符号连起来,就构成了等式

注意,有些时候“A = B”并不表示等式。例如,Tn)= O(n2)表示在数量级 n2上渐进。因為这裡的符号“=”不滿足若且唯若的定義,所以它不等於等于符号;实际上,O(n2) = Tn)是没有意义的。请参见大O符号了解这部分内容。

等价二元关系的表格

集合A 上的等于关系是种二元关系,满足自反性对称性反对称性传递性。 实际上,这是A 上唯一满足所有这些性质的关系。 去掉对反对称性的要求,就是等价关系。 相应的,给定任意等价关系R,可以构造商集A/R,并且这个等价关系将‘下降为’A/R 上的等于。

在任何条件下都成立的等式称为恒等式,包含未知数的等式称为方程式

逻辑形式[编辑]

谓词逻辑含有标准的关于相等的公理来形式化莱布尼茨律。莱布尼茨律是由哲学家莱布尼茨在17世纪提出来的。 莱布尼茨的想法是,两样物体是同一的,当且仅当它们有完全相同的性质。 形式化这一说法,可以写成

任意xyx = y 当且仅当对任意谓词PPx)当且仅当Py)。

然而,在一阶逻辑中,不能对谓词进行量化。因此,需要使用下述公理

对任意xy,若x 等于y,则Px)当且仅当Py)。

这条公理对任意单变量的谓词P 都有效,但只定义了莱布尼茨律的一个方向:若xy 相等,则它们具有相同的性质。 可以通过简单的假设来定义莱布尼茨律的另一个方向:

对任意xx 等于x

则若xy 具有相同的性质,则特定的它们关于谓词P 是相同的。这里谓词P 为:Pz)当且仅当x = z。 由于Px)成立,Py)必定也成立(相同的性质),所以x = yP 的变量为y).

等于的一些基本性质[编辑]

替代性:
任意ab 和任意表达式Fx),若a = b,则Fa)= Fb)(设等式两边都有意义)。
一阶逻辑中,不能量化像F 这样的表达式(它可能是个函数谓词)。
一些例子:
  • 对任意实数abc,若a = b,则a + c = b + c(这里Fx)为x + c);
  • 对任意实数abc,若a = b,则a - c = b - c(这里Fx)为x - c);
  • 对任意实数abc,若a = b,则a'c = b'c(这里Fx)为x'c);
  • 对任意实数abc,若a = bc 不为,则a/c = b/c(这里Fx)为x/c);
自反性:
对任意量aa = a
这个性质通常在数学证明中作为中间步骤。
对称性:
对任意量ab,若a = b,则b = a
传递性:
对任意量abc,若a = b b = c,则a = c
实数或其他对象上的二元关系约等于”,即使进行精确定义,也不具有传递性(即使看上去有,但许多小的能够叠加成非常大)。然而,在绝大多数情况下,等于具有传递性。
尽管对称性和传递性通常看上去是基本性质,但它们能够通过替代性和自反性证明得到。

符号的历史[编辑]

等于」符号或 「」被用来表示一些算术运算的结果,是由Robert Recorde在1557年发明的。

由于觉得书写文字过于麻烦,Recorde在他的作品 The Whetstone of Witte 中采用了这一符号。原因是符号中的两条线一样长,表明其连接的两个量也向等。这一发明在威尔士的St Mary教堂有记录。

约等于的符号是不等于的符号是

外部链接[编辑]

参见[编辑]

等号