等于

维基百科,自由的百科全书
跳转至: 导航搜索

数学上,两个数学对象是相等的,若他们在各个方面都相同。这就定义了一个二元谓词等于,写作“=”;x = y 当且仅当xy 相等。通常意义上,等于是通过两个元素间的等价关系来构造的。将两个表达式用等于符号连起来,就构成了等式

注意,有些时候“A = B”并不表示等式。例如,T(n)= O(n2)表示在数量级 n2上渐进。因為这裡的符号“=”不滿足若且唯若的定義,所以它不等於等于符号;实际上,O(n2) = T(n)是没有意义的。请参见大O符号了解这部分内容。

等价二元关系的表格

集合A 上的等于关系是种二元关系,满足自反性对称性反对称性传递性。 实际上,这是A 上唯一满足所有这些性质的关系。 去掉对反对称性的要求,就是等价关系。 相应的,给定任意等价关系R,可以构造商集A/R,并且这个等价关系将‘下降为’A/R 上的等于。

在任何条件下都成立的等式称为恒等式,包含未知数的等式称为方程式

邏輯形式[编辑]

謂詞邏輯含有標準的關於相等的公理來形式化萊布尼茨律。萊布尼茨律是由哲學家萊布尼茨在17世紀提出來的。 萊布尼茨的想法是,兩樣物體是同一的,當且僅當它們有完全相同的性質。 形式化這一說法,可以寫成

任意xyx = y 當且僅當對任意謂詞PP(x)當且僅當P(y)。

然而,在一階邏輯中,不能對謂詞進行量化。因此,需要使用下述公理

對任意xy,若x 等於y,則P(x)當且僅當P(y)。

這條公理對任意單變量的謂詞P 都有效,但只定義了萊布尼茨律的一個方向:若xy 相等,則它們具有相同的性質。 可以通過簡單的假設來定義萊布尼茨律的另一個方向:

對任意xx 等於x

則若xy 具有相同的性質,則特定的它們關於謂詞P 是相同的。這裡謂詞P 為:P(z)當且僅當x = z。 由於P(x)成立,P(y)必定也成立(相同的性質),所以x = y(' 'P 的變量為y).

等于的一些基本性质[编辑]

替代性:
对任意量ab 和任意表达式F(x),若a = b,则F(a)= F(b)(设等式两边都有意义)。
一阶逻辑中,不能量化像F 这样的表达式(它可能是个函数谓词)。
一些例子:
  • 对任意实数a, b, c,若a = b,则a + c = b + c(这里F(x)为x + c);
  • 对任意实数a, b, c,若a = b,则a - c = b - c(这里F(x)为x - c);
  • 对任意实数a, b, c,若a = b,则ac = bc(这里F(x)为xc);
  • 对任意实数a, b, c,若a = bc 不为,则a/c = b/c(这里F(x)为x/c);
自反性:
对任意量aa = a
这个性质通常在数学证明中作为中间步骤。
对称性:
对任意量ab,若a = b,则b = a
传递性:
对任意量a, b, c,若a = b b = c,则a = c
实数或其他对象上的二元关系约等于”,即使进行精确定义,也不具有传递性(即使看上去有,但许多小的能够叠加成非常大)。然而,在绝大多数情况下,等于具有传递性。
尽管对称性和传递性通常看上去是基本性质,但它们能够通过替代性和自反性证明得到。

符号的历史[编辑]

等于」符号或 「」被用来表示一些算术运算的结果,是由Robert Recorde在1557年发明的。

由于觉得书写文字过于麻烦,Recorde在他的作品 The Whetstone of Witte 中采用了这一符号。原因是符号中的两条线一样长,表明其连接的两个量也向等。这一发明在威尔士的St Mary教堂有记录。

约等于的符号是不等于的符号是

外部链接[编辑]

参见[编辑]

等号