等价矩阵

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线性代数矩阵论中,两个矩阵之间的等价是一种矩阵之间的等价关系。假设有两个m \times n 的矩阵,记作AB。它们之间等价当且仅当存在两个可逆方块矩阵n \times n 的矩阵P以及m \times m 的矩阵Q,使得

\mathbf{A} = \mathbf{PBQ}

这时称两个矩阵AB等价矩阵。矩阵之间的等价和矩阵的相似关系有所不同。如果两个矩阵AB相似,那么它们一定是等价矩阵,因为按照矩阵相似的定义,可以找到一个可逆矩阵P,使得

\mathbf{A} = \mathbf{PB}\mathbf{P}^{-1}

由于其中的P-1也是可逆的矩阵,所以AB相似必然推出它们等价。但是,等价的矩阵不一定是相似的。首先相似的两个矩阵必须是大小相同的两个方块矩阵,而等价矩阵则没有这个要求。其次,即使两个等价矩阵都是同样大小的方阵,\mathbf{A} = \mathbf{PBQ} 中用到的Q也不一定是P的逆矩阵。

性质[编辑]

等价矩阵是矩阵集合\mathcal{M}_{m,n}(\mathbf{R})中的一种等价关系

两个矩阵等价当且仅当:

参见[编辑]