等周定理

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等周定理,又稱等周不等式,是一个几何中的不等式定理,说明了欧几里得平面上的封闭图形的周长以及其面积之间的关系。其中的“等周”指的是周界的长度相等。等周定理說明在周界长度相等的封闭几何形狀之中,以形的面積最大;另一個說法是面積相等的几何形狀之中,以圓形的周界长度最小。這兩種說法是等價的。它可以以不等式表達:若P為封闭曲線的周界长,A為曲線所包圍的區域面積,4 \pi A \le P^2

虽然等周定理的结论早已为人所知,但要严格的证明这一点并不容易。首个严谨的数学证明直到19世纪才出现。之后,数学家们陆续给出了不同的证明,其中有不少是非常简单的。等周问题有许多不同的推广,例如在各种曲面而不是平面上的等周问题,以及在高维的空间中给定的“表面”或区域的最大“边界长度”问题等。

在物理中,等周问题和跟所谓的最小作用量原理有關。一个直观的表现就是水珠的形状。在没有外力的情况下(例如失重的太空舱里),水珠的形状是完全对称的球体。这是因为当水珠体积一定时,表面张力会迫使水珠的表面积达到最小值。根据等周定理,最小值是在水珠形状为球状时达到。

歷史[编辑]

不完全的封閉曲線的話,能以「翻折」的部分以成為凸的圖形,以增加面積,而周长不变
一个狭长的图形可以通过“压扁”来变得“更圆”,从而使得面积更大而周长不变。

平面上的等周问题是等周问题最经典的形式,它的出现可以追溯到很早以前。这个问题可以被表述为:在平面上所有周长一定的封闭曲线中,是否有一个围成的面积最大?如果有的话,是什么形状?另一种等价的表述是:当平面上的封闭曲线围成的面积一定时,怎样的曲线周长最小?

雖然圓看似是問題的表面答案,但證明此事實其實不易。首個接近答案的步驟出現在1838年——雅各·史坦納以幾何方法證明若答案存在,答案必然是圓形[1]。不久之后他的证明被其他数学家完善。

其方法包括證明了不完全的封閉曲線的話,能以「翻折」的部分以成為凸的圖形,以增加面積;不完全對稱的封閉曲線能以傾斜來取得更多的面積。圓,是完全凸和對稱的形狀。可是這些並不足以作為等周定理的嚴格證明。

1901年,赫爾維茨傅里叶级数格林定理給出一個純解析的證明。

證明[编辑]

以下給出一個較初等的證明[2],分5步。

設一條長度為P的封閉曲綫圍成的區域的最大面積為A,亦以A、P來標記該區域及其邊界;那麼該圖形應當滿足如下性質:

1、A是一個凸區域。

  • 假使不然,A是一個凹區域。那麼根據定義,可以在P內找到兩個點M和N,使其連線MN有一部份M'N'不包含于A的內部。然而如以M'N'替換掉原來的那段弧,則周長將減少,面積將增加,從而將新圖形擴大若干倍后得到一個同樣周長,面積比A大的區域。矛盾。

2、凡平分周長P的弦必平分面積A。

  • 如果一弦MN平分P而將A分為大小不同的兩部份A_1>A_2,那麼去掉A_2而將A_1對MN做對稱,則可得到一個周長仍然等於P而面積等於2A_1 > A_1 + A_2 = A的區域,矛盾。

3、凡平分A的弦,無論方向,長度相等。

  • 如果不然,不妨設兩弦MN和M'N'均平分面積A而MN>M'N'。那麼分別選取MN及其任一側的曲綫(半個P,不妨記為P_1),以及M'N'及其任一側的區域(另行劃分的半個P,記為P'_1),并粘合在一起使得M'N'落在MN上,M與M'重合。
    • 此時,新的圖形仍然滿足周長為P,面積為A的性質,且由於MN>M'N',N'應落於MN之間。
  • 以M為中心,分別對P_1P'_1\lambda\mu倍的放縮,使兩曲綫的終端吻合(即N和N'經過變換之後重合,記為N''),得到兩個分別與原區域相似的區域Q_1Q'_1。適當調整\lambda\mu的值,使曲綫M Q_1 N'' Q'_1 M的周長仍為P。
    • 此時Q_1Q'_1的長度分別等於P \lambda /2P \mu /2,所圍的面積分別等於A \lambda^2 /2A \mu^2 /2;並且由於MN和MN'經過放縮后重合,有\lambda MN = \mu MN'
  • 由於曲綫M Q_1 N'' Q'_1 M的周長仍為P,故P \lambda /2 + P \mu /2 = P,從而\lambda + \mu = 2;而由\lambda MN = \mu MN', MN>MN'0< \lambda <1
  • 所以,M Q_1 N'' Q'_1 M的面積為A (\lambda^2 + \mu^2) /2 = A (\lambda^2 + (2 - \lambda)^2) /2 = A(\lambda^2 - 2\lambda + 2) > A,與A最大矛盾。

4、若MN平分A,O為MN中點,那麼對P上任意一點R,都有OM=ON=OR。

  • 以O為中心,做MRN的中心對稱圖形,R對稱到R';那麼圖形MR'NRM的周長為P,面積為A。由第3步知MN和RR'的長度應該相等,而O也是RR'的中點,故得結論。

5、由於O到P上任意一點的距離都相等,所以P是圓。

参考来源[编辑]

  1. ^ J. Steiner, Einfacher Beweis der isoperimetrischen Hauptsätze, J. reine angew Math. 18, (1838), pp. 281–296; and Gesammelte Werke Vol. 2, pp. 77–91, Reimer, Berlin, (1882).
  2. ^ 福原満洲雄、山中健,変分学入門,朝倉書店,1978.3.