等差数列

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等差数列(又名算术数列)是数列的一种。在等差数列中,任何相邻两项的差相等。该差值称为公差。例如数列 就是一个等差数列。 在这个数列中,从第二项起,每项与其前一项之差都等于2,即公差为2。

通项公式[编辑]

如果一个等差数列的首项标为,公差标为,那么该等差数列第项的表达式为:

等差数列的任意两项之间存在关系:

和为 Sn 首项 a1 末项 an 公差d 项数n ,同时可得

等差中項[编辑]

给定任一公差为的等差数列 。從第二项開始,前一項加後一項的和的値為該項的兩倍。 例:

證明:

(矛盾)

证毕

等差数列的和[编辑]

等差数列的和称为等差级数

公式[编辑]

一个公差为的等差数列项的级数为:

等差级数在中文教科書中常表达为:

一个等差数列的和等于其首项与末项的和乘以项数除以2。

通常认为数学家高斯在小时候就发现这个公式。在他三年级的时候,他的老师让学生们做从1加到100【1+2+3+4+……+100】的习题。高斯很快发现数列的规律,用上面的公式得出了5050的答案。但显然可以肯定的是,在远远比这更早的古希腊甚至古埃及,就已经有人掌握了等差数列的这种求和的方法。

证明[编辑]

将一个等差级数写作以下两种形式:

将两公式相加来消掉公差:

整理公式,并且注意 ,我们有:

证毕 (上述言论有部分不甚完整,还望谅解)

幾何方法[编辑]

範例:1+2+3+...+10=? 示範影片

如影片中所示:以面積為1單位、2單位、3單位...、10單位的長方形排成圖形

再拿一整組同樣大小的長方形反向排列,得一大長方形,而其面積除以二即為等差級數的和

原理同:

以幾何方法計算等差級數 示範影片

也就是我們所熟悉的:=上底加下底乘以高除以二。

性质[编辑]

所有等差数列的等差级数均可表示为的形式(为常数),其中公差,首项

如果以表示新数列的公差为等差级数,则数列{}也是等差数列。而且新数列的公差为

等差数列的积[编辑]

等差数列的较其和的公式复杂。给定一首项为,公差为 且其首项为正整数 的等差数列,其前项的积写作:

其中 上升阶乘幂。 注意,该公式对于首项不是正数的等差数列并不适用。等差数列的积的公式是基于阶乘定义的一个推广。

等差数列的一些其他性质[编辑]

如果,那么对于等差数列{},则有:

当m≠n时,有 证明如下:

     
    
    
    

参见[编辑]

参考文献[编辑]

  • Sigler, Laurence E. (trans.). Fibonacci's Liber Abaci. Springer-Verlag. 2002: 259–260. ISBN 978-0-387-95419-6.