等差-等比数列

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数学上,等差-等比数列(arithmetico-geometric sequence)是一个等差数列与一个等比数列相乘的积。

通项公式[编辑]

等差-等比数列有如下通项公式;[1]

其中r公比,而rn-1的系数:

则是等差数列的项,其首项為a,公差d

等差-等比数列的求和公式[编辑]

等差-等比级数有如下形式;

其前n项之和为;

错位相减法[编辑]

由此级数开始:[1][2]

Sn乘以r

Sn减去rSn

在中间的项中使用等比数列的求和公式。最后左右两边同除以(1 − r),得到最终结果。

逐项求导[编辑]

对等比数列和两边求导:[3]

裂项法[编辑]

待定系数s,t使得差比数列可以裂项:[4]

裂项法可以求出数列和:

求出待定系数s,t关于a,d,r的表达式:

差分算子公式[编辑]

[5]

其中

求出各阶差分

无穷级数[编辑]

如果 -1 < r < 1,那么其无穷级数为[1]

如果r在上述范围之外,则该级数不是发散级数就是交错级数

参见[编辑]

参考文献[编辑]

  1. ^ 1.0 1.1 1.2 K.F. Riley, M.P. Hobson, S.J. Bence. Mathematical methods for physics and engineering 3rd. Cambridge University Press. 2010: 118. ISBN 978-0-521-86153-3. 
  2. ^ 江凤莲. 利用“错位相减法”解数列问题. 龙岩师专学报. 2001, (S1). 
  3. ^ 李曰玮 刘瑞楼. 一类特殊多项式的求和问题. 高等数学研究. 2012, (1). 
  4. ^ 郑良. 差比型数列前n项和的求解方法——裂项法. 中学生数学. 2012, (3). 
  5. ^ 黄嘉威. 方幂和及其推广和式. 数学学习与研究. 2016, (7).