等差-等比数列

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数学上,等差-等比数列(arithmetico-geometric sequence)是一个等差数列与一个等比数列相乘的积。

通项公式[编辑]

等差-等比数列有如下通项公式;[1]

[a+(n-1)d] r^{n-1}

其中r公比,而rn-1的系数:

[a+(n-1)d]

则是等差数列的项,其首项為a,公差d

等差-等比数列的求和公式[编辑]

等差-等比级数有如下形式;

\sum_{k=1}^n \left[a+(k-1)d\right]r^{k-1} = a + (a+d)r + (a+2d)r^2 + \cdots + [a+(n-1)d]r^{n-1}

其前n项之和为;

S_n = \sum_{k=1}^n \left[a+(k-1)d\right]r^{k-1} = \frac{a}{1-r}-\frac{[a+(n-1)d]r^n}{1-r}+\frac{dr(1-r^{n-1})}{(1-r)^2}.

错位相减法[编辑]

由此级数开始:[1][2]

S_n = a+(a+d)r+(a+2d)r^2+\cdots +[a+(n-1)d]r^{n-1}

Sn乘以r

r S_n = ar+(a+d)r^2+(a+2d)r^3+\cdots +(a+(n-1))r^n

Sn减去rSn

\begin{align} 
S_n(1-r) &=&\left\{a+(a+d)r+(a+2d)r^2+\cdots +[a+(n-1)]r^{n-1}\right\} \\ 
& &- \left\{ar+(a+d)r^2+(a+2d)r^3+\cdots + [ a+(n-1) ] r^n\right\} \\
& = & a+ \left[ rd + r^2d + \cdots \right] - [ a+d(n-1) ] r^n \\
& = & a + \left[ \frac{rd(1-r^{n-1})}{1-r}\right]-[a+(n-1)d]r^n\end{align}

在中间的项中使用等比数列的求和公式。最后左右两边同除以(1 − r),得到最终结果。

逐项求导[编辑]

\displaystyle \sum_{k=1}^n r^{k-1}=\frac{r^n-1}{r-1}

对等比数列和两边求导:[3]

\displaystyle \sum_{k=1}^n (k-1)r^{k-2}=\frac{nr^{n-1}}{r-1}-\frac{r^n-1}{(r-1)^2}

\displaystyle \sum_{k=1}^n [a+(k-1)d]r^{k-1}=a\frac{r^n-1}{r-1}+dr[\frac{nr^{n-1}}{r-1}-\frac{r^n-1}{(r-1)^2}]

裂项法[编辑]

待定系数s,t使得差比数列可以裂项:[4]

[a+(k-1)d]r^{k-1}=(sk+t)r^k-[s(k-1)+t]r^{k-1}

裂项法可以求出数列和:

\displaystyle \sum_{k=1}^n [a+(k-1)d]r^{k-1}=(sn+t)r^n-t

求出待定系数s,t关于a,d,r的表达式:

dk+a-d=s(r-1)k+(r-1)t+s

\displaystyle s=\frac{d}{r-1},t=\frac{a-d}{r-1}-\frac{d}{(r-1)^2}

\displaystyle \sum_{k=1}^n [a+(k-1)d]r^{k-1}=[\frac{d}{r-1}n+\frac{a-d}{r-1}-\frac{d}{(r-1)^2}]r^n-[\frac{a-d}{r-1}-\frac{d}{(r-1)^2}]

差分算子公式[编辑]

\displaystyle\sum_{k=1}^n p(k)q^{k-1}=f(n)q^n-f(0),f(n)=\frac{p(n)}{q-1}+\frac{1}{(q-1)^2}\sum_{k=1}^m \frac{(-1)^kq^{k-1}}{(q-1)^{k-1}}\Delta^k(p(n))=\frac{1}{q-1}\sum_{k=0}^m (\frac{-q}{q-1})^k\Delta^k p(n+1)[5]

其中\Delta p(n)=p(n+1)-p(n)

求出各阶差分p(n)=a+(n-1)d,\Delta p(n)=d

\displaystyle f(n)=\frac{a+(n-1)d}{r-1}-\frac{d}{(r-1)^2}

\displaystyle \sum_{k=1}^n [a+(k-1)d]r^{k-1}=[\frac{a+(n-1)d}{r-1}-\frac{d}{(r-1)^2}]r^n-[\frac{a-d}{r-1}-\frac{d}{(r-1)^2}]

无穷级数[编辑]

如果 -1 < r < 1,那么其无穷级数为[1]

\lim_{n \to \infty}S_{n} = \frac{a}{1-r}+\frac{dr}{(1-r)^2}

如果r在上述范围之外,则该级数不是发散级数就是交错级数

参见[编辑]

参考文献[编辑]

  1. ^ 1.0 1.1 1.2 K.F. Riley, M.P. Hobson, S.J. Bence. Mathematical methods for physics and engineering 3rd. Cambridge University Press. 2010: 118. ISBN 978-0-521-86153-3. 
  2. ^ 江凤莲. 利用“错位相减法”解数列问题. 龙岩师专学报. 2001, (S1). 
  3. ^ 李曰玮 刘瑞楼. 一类特殊多项式的求和问题. 高等数学研究. 2012, (1). 
  4. ^ 郑良. 差比型数列前n项和的求解方法——裂项法. 中学生数学. 2012, (3). 
  5. ^ 黄嘉威. 方幂和及其推广和式. 数学学习与研究. 2016, (7).