算术-几何平均值不等式

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算术-几何平均值不等式,簡稱算几不等式,是一个常见而基本的不等式,表现了算术平均数几何平均数之间恒定的不等关系。设 个正实数,它们的算术平均数,它们的几何平均数。算术-几何平均值不等式表明,对任意的正实数,总有:

等号成立当且仅当

算术-几何平均值不等式仅适用于正实数,是对数函数凹性的体现,在数学、自然科学、工程科学以及经济学等其它学科都有应用。

算术-几何平均值不等式有時被称为平均值不等式(或均值不等式),其實后者是一组更廣泛的不等式。

例子[编辑]

的情况,设: , 那么

.

可见

历史上的证明[编辑]

历史上,算术-几何平均值不等式拥有众多证明。的情况很早就为人所知,但对于一般的 ,不等式并不容易证明。1729年,英国数学家麦克劳林最早给出了一般情况的证明,用的是调整法,然而这个证明并不严谨,是错误的。

柯西的证明[编辑]

1821年,法国数学家柯西在他的著作《分析教程》中给出了一个使用逆向归纳法的证明[1]

命题:对任意的 个正实数

时,显然成立。假设 成立,那么 成立。证明:对于 个正实数

假设成立,那么成立。证明:对于 个正实数,设,那么由于成立,

但是 ,因此上式正好变成

也就是说

综上可以得到结论:对任意的自然数 ,命题 都成立。这是因为由前两条可以得到:对任意的自然数 ,命题 都成立。因此对任意的 ,可以先找 使得 ,再结合第三条就可以得到命题 成立了。

归纳法的证明[编辑]

使用常规数学归纳法的证明则有乔治·克里斯托George Chrystal)在其著作《代数论》(algebra)的第二卷中给出的[2]

由对称性不妨设 中最大的,由于 ,设 ,则 ,并且有

根据二项式定理

于是完成了从 的证明。

此外还有更简洁的归纳法证明[3]

的情况下有不等式 成立,于是:

所以 ,从而有

基于琴生不等式的证明[编辑]

注意到几何平均数 实际上等于 ,因此算术-几何平均不等式等价于:

由于对数函数是一个凹函数,由琴生不等式可知上式成立。

基于排序不等式的证明[编辑]

,于是有 ,再作代换 ,运用排序不等式得到:

于是得到 ,即原不等式成立。

此外还有基于伯努利不等式或借助调整法、辅助函数求导和加强命题的证明。

推广[编辑]

算术-几何平均不等式有很多不同形式的推广。

加权算术-几何平均不等式[编辑]

不仅“均匀”的算术平均数和几何平均数之间有不等式,加权的算术平均数和几何平均数之间也有不等式。设 为正实数,并且 ,那么:

加权算术-几何平均不等式可以由琴生不等式得到。

矩阵形式[编辑]

算术-几何平均不等式可以看成是一维向量的系数的平均数不等式。对于二维的矩阵,一样有类似的不等式: 对于系数都是正实数的矩阵

,那么有:

也就是说:对 个纵列取算术平均数,它们的几何平均小于等于对 个横行取的 个几何平均数的算术平均。

极限形式[编辑]

也称为积分形式:对任意在区间上可积的正值函数 ,都有

这实际上是在算术-几何平均值不等式取成 后,将两边的黎曼和中的 趋于无穷大后得到的形式。

算數-幾何-調和平均值不等式[编辑]

若再規定的调和平均数

則有

且等号依舊成立当且仅当

證明由算數-幾何平均值不等式知

且等號成立於

参见[编辑]

参考来源[编辑]

  1. ^ Augustin-Louis Cauchy, Cours d'analyse de l'École Royale Polytechnique, premier partie, Analyse algébrique, Paris, 1821. p457.
  2. ^ George Chrystal, Algebra:An Elementary Text-Book, Part II, Chapter XXIV.p46.
  3. ^ P. H. Diananda , A Simple Proof of the Arithmetic Mean Geometric Mean Inequality ,The American Mathematical Monthly, Vol. 67, No. 10 (Dec., 1960), pp. 1007
  • 匡继昌,《常用不等式》,山东科技出版社。
  • 李胜宏,《平均不等式与柯西不等式》,华东师大出版社。
  • 莫里斯·克莱因(Morris Kline),张理京 张锦炎 江泽涵 译,《古今数学思想》,上海科学技术出版社。
  • 李兴怀,《学科奥林匹克丛书·高中数学》,广东教育出版社。