算术-几何平均数

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两个正实数xy算术-几何平均数定义如下:

首先计算xy算术平均数,称其为a1。然后计算xy几何平均数,称其为g1;这是xy算术平方根

a_1 = \frac{x+y}{2}
g_1 = \sqrt{xy}.

然后重复这个步骤,这样便得到了两个数列(an)和(gn):

a_{n+1} = \frac{a_n + g_n}{2}
g_{n+1} = \sqrt{a_n g_n}.

这两个数列收敛于相同的数,这个数称为xy算术-几何平均数,记为M(x, y),或agm(x, y)。

例子[编辑]

欲计算a0 = 24和g0 = 6的算术-几何平均数,首先算出它们的算术平均数和几何平均数:

a_1=\frac{24+6}{2}=15,
g_1=\sqrt{24 \times 6}=12,

然后进行迭代:

a_2=\frac{15+12}{2}=13.5,
g_2=\sqrt{15 \times 12}=13.41640786500\dots etc.

继续计算,可得出以下的值:

n an gn
0 24 6
1 15 12
2 13.5 13.41640786500...
3 13.45820393250... 13.45813903099...
4 13.45817148175... 13.45817148171...

24和6的算术-几何平均数是两个数列的公共极限,大约为13.45817148173。

性质[编辑]

M(x, y)是一个介于xy的算术平均数和几何平均数之间的数。

如果r > 0,则M(rx, ry) = r M(x, y)。

M(x,y)还可以写为如下形式:

\Mu(x,y) = \frac{\pi}{4} \cdot \frac{x + y}{K \left( \frac{x - y}{x + y} \right) }

其中K(x)是第一类完全椭圆积分

1和\sqrt{2}的算术-几何平均数的倒数,称为高斯常数

 \frac{1}{\Mu(1, \sqrt{2})} = G = 0.8346268\dots

参见[编辑]

参考文献[编辑]