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算符

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物理學裏,算符(operator),又稱算子,作用於物理系統的狀態空間,使得物理系統從某種狀態變換為另外一種狀態。這變換可能相當複雜,需要用很多方程式來表明,假若能夠使用算符來代表,可以更為簡單扼要地表達論述。

對於很多案例,假若作用的對象有所迥異,算符的物理行為也會不同;但是,對於有些案例,算符的物理行為具有一般性,這時,就可以將論題抽象化,專注於研究算符的物理行為,不必顧慮到狀態的獨特性。這方法比較適用於一些像對稱性守恆定律的論題。因此,在經典力學裏,算符是很有用的工具。在量子力學裏,算符為理論表述不可或缺的要素。

對於更深奧的理論研究,可能會遇到很艱難的數學問題,算符理論(operator theory)能夠提供高功能的架構,使得數學推導更為簡潔精緻、易讀易懂,更能展現出內中物理涵意。

一般而言,在經典力學裏的算符大多作用於函數,這些函數的參數為各種各樣的物理量,算符將某函數映射為另一種函數。這種算符稱為「函數算符」。在量子力學裏的算符稱為「量子算符」,作用的對象是量子態。量子算符將某量子態映射為另一種量子態。

經典力學[编辑]

經典力學裏,粒子(或一群粒子)的動力行為是由拉格朗日量哈密頓量決定;其中,分別是廣義坐標廣義速度共軛動量是時間。

假設拉格朗日量或哈密頓量與某廣義坐標無關,則當有所改變時,仍舊會保持不變,這意味著粒子的動力行為也會保持不變,對應於的共軛動量守恆。對於廣義坐標的改變,動力行為所具有的不變性是一種對稱性。在經典力學裏,當研讀有關對稱性的課題時,算符是很有用的工具。

特別而言,假設對於某種的變換運算,物理系統的哈密頓量是個不變量;也就是說,假設

在這案例裏,所有的元素都是物理算符,能夠將物理系統從某種狀態變換為另一種狀態;儘管作用於這物理系統,哈密頓量守恆不變。

舉一個關於平移於空間的簡單例子。「平移算符」能夠將粒子從坐標為移動至坐標為,以方程式表示:

其中,是描述一群粒子的密度函數。

給定一個對於平移變換具有不變性的物理系統,則儘管的作用,這物理系統的哈密頓量是個不變量,對應於坐標的動量守恆。

經典力學算符表格[编辑]

算符 標記 位置 動量
平移算符
時間演化算符
旋轉算符
伽利略變換算符
宇稱算符
時間反演算符
  • 旋轉矩陣是旋轉軸向量,是旋轉角弧。

生成元概念[编辑]

對於一個微小的平移變換,猜測平移算符的形式為

其中,是「單位算符」──變換單位元是微小參數,是專門用來設定平移變換生成元

為了簡化論述,只考慮一維案例,推導平移於一維空間的生成元。將平移算符作用於函數

由於很微小,可以泰勒近似

重寫平移算符的方程式為

其中,導數算符是平移群的生成元。

總結,平移群的生成元是導數算符。

指數映射[编辑]

在正常狀況下,通過指數映射,可以從生成元得到整個。對於平移於空間這案例,重複地做次微小平移變換,來代替一個有限值為的平移變換

現在,讓變得無窮大,則因子趨於無窮小:

這表達式的極限為指數函數:

核對這結果的正確性,將指數函數泰勒展開冪級數

這方程式的右手邊可以重寫為

這正是泰勒級數,也是的原本表達式結果。

物理算符的數學性質是很重要的研讀論題。更多相關內容,請參閱條目C*-代数蓋爾范德-奈馬克定理(Gelfand-Naimark theorem)。

量子力學[编辑]

量子力學裏,算符的功能被發揮地淋漓盡致。量子力學的數學表述建立於算符的概念。量子系統的量子態可以用態向量設定,態向量是向量空間單位範數向量。在向量空間內,量子算符作用於量子態,使它變換成另一個量子態。由於物體的態向量範數應該保持不變,量子算符必須是么正算符。假若變換前的量子態與變換後的量子態,除了乘法數值以外,兩個量子態相同,則稱此量子態為本徵態,稱此乘法數值為本徵值[1]:11-12

物理實驗中可以觀測到的物理量稱為可觀察量。每一個可觀察量,都有其對應的算符。可觀察量的算符也許會有很多本徵值與本徵態。根據統計詮釋,每一次測量的結果只能是其中的一個本徵值,而且,測得這本徵值的機會呈機率性,量子系統的量子態也會改變為對應於本徵值的本徵態。[2]:106-109

量子算符[编辑]

假設,物理量是某量子系統的可觀察量,其對應的量子算符可能有很多不同的本徵值與對應的本徵態,這些本徵態,形成了具有正交歸一性基底[2]:96-99

其中,克羅內克函數

假設,某量子系統的量子態為

其中,是複係數,是在裏找到機率幅[1]:50

測量這動作將量子態改變為本徵態的機率為,測量結果是本徵值的機率也為

期望值[编辑]

在量子力學裏,重複地做同樣實驗,通常會得到不同的測量結果,期望值是理論平均值,可以用來預測測量結果的統計平均值。

採用狄拉克標記,對於量子系統的量子態,可觀察量的期望值定義為[1]:24-25

其中,是對應於可觀察量的算符。

將算符作用於量子態,會形成新量子態

從左邊乘以量子態,經過一番運算,可以得到

所以,每一個本徵值與其機率的乘積,所有乘積的代數和,就是可觀察量期望值

將上述定義式加以推廣,就可以用來計算任意函數的期望值:

例如,可以是,即重複施加算符兩次:

對易算符[编辑]

假設兩種可觀察量的算符分別為,它們的對易算符定義為

對易算符是由兩種算符組合而成的複合算符,當作用於量子態時,會給出

假設,則稱這兩種可觀察量為「相容可觀察量」,否則,,稱這兩種可觀察量為「不相容可觀察量」。

假設兩種可觀察量為不相容可觀察量,則由於不確定原理,絕無法製備出這兩種可觀察量在任意精確度內的量子系統。注意到這是一個關於製備方面的問題,不是一個關於測量方面的問題。假若精心設計測量實驗,裝備足夠優良的測量儀器,則對於某些量子系統,測量這兩種可觀察量至任意精確度是很容易達成的任務。[3]

厄米算符[编辑]

每一種經過測量而得到的物理量都是實值,因此,可觀察量的期望值是實值:

對於任意量子態,這關係都成立:

根據伴隨算符的定義,假設的伴隨算符,則。因此,

這正是厄米算符的定義。所以,表現可觀察量的算符,都是厄米算符。[2]:96-99

矩陣力學[编辑]

應用基底的完備性,添加單位算符於算符的兩旁,可以得到[1]:20-23

其中,是求和式內每一個項目的係數。

所以,量子算符可以用矩陣形式來代表:

算符與它的伴隨算符彼此之間的關係為

所以,分別代表這兩個算符的兩個矩陣,彼此是對方的轉置共軛。對於厄米算符,代表的矩陣是個實值的對稱矩陣

用矩陣代數來計算算符怎樣作用於量子態,假設系統因此變換為量子態

從左邊乘以本徵態,應用基底的完備性,添加單位算符於算符的右邊,可以得到

右矢分別用豎矩陣來代表

    

兩個豎矩陣彼此之間的關係為

假設算符是厄米算符,則其所有本徵態都相互正交。[4]以矩陣來代表算符,可以計算出一組本徵值與對應的本徵態,每一次做測量會得到的結果只能是這一組本徵值中之一。由於本徵態的正交性質,可以找到一組基底來表示每一種量子態。解析方塊矩陣的特徵多項式,就可以找到本徵值

量子算符表格[编辑]

在這表格裏,算符的表現空間是位置空間。假若表現空間是其它種空間,則表示出的方程式會不一樣。在英文字母上方的尖角號表示整個符號代表的是個量子算符,不是單位向量。

算符名稱 直角坐標系分量表示 向量表示
位置算符
動量算符 一般狀況

一般狀況

電磁場

電磁場(磁向量勢

動能算符 平移運動

平移運動

電磁場

電磁場(磁向量勢

旋轉運動(轉動慣量

旋轉運動

勢能算符 N/A
能量算符 N/A 含時位勢:

不含時位勢:

哈密頓算符 N/A
角動量算符
自旋算符

其中,

自旋1/2粒子的包立矩陣

其中,向量的分量是包立矩陣。

總角動量算符
躍遷矩(電)
(transition moment)

範例[编辑]

位置算符[编辑]

只思考一維問題,將位置算符施加於位置本徵態,可以得到本徵值,即粒子的位置:[5]:220-221

由於位置基底具有完整性,任意量子態可以按著位置本徵態形成的基底展開:

將位置算符施加於量子態,由於算符只作用於右矢,與其它數學個體無關,可以移入積分式內:

左矢與這方程式的內積為

設定量子態。由於位置基底具有完整性,量子態的內積,可以按著位置本徵態形成的基底展開為

將這兩個積分式加以比較,立刻可以辨識出全等式

設定量子態。量子態的位置空間表現,即波函數,分別定義為

兩個波函數之間的關係為

總結,位置算符作用於量子態的結果,表現於位置空間,等價於波函數的乘積

動量算符[编辑]

表現於位置空間,一維動量算符為

將動量算符施加於量子態,可以得到類似前一節得到的結果:

應用位置基底所具有的完整性,對於任意量子態,可以得到更廣義的結果:

其中,分別是量子態表現於位置空間的波函數

假設的本徵態,本徵值為,則可得到

改寫為本徵值為的本徵態,方程式改寫為

這微分方程式的解析解為

所以,動量本徵態的波函數是一個平面波。不需要應用薛丁格方程式,就可以推導求得這出結果。[1]:50-54

參閱[编辑]

參考文獻[编辑]

  1. ^ 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 Sakurai, J. J.; Napolitano, Jim, Modern Quantum Mechanics 2nd, Addison-Wesley, 2010, ISBN 978-0805382914 
  2. ^ 2.0 2.1 2.2 Griffiths, David J., Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.), Prentice Hall, 2004, ISBN 0-13-111892-7 
  3. ^ Ballentine, L. E., The Statistical Interpretation of Quantum Mechanics, Reviews of Modern Physics, 1970, 42: 358–381, doi:10.1103/RevModPhys.42.358 
  4. ^ Molecular Quantum Mechanics Parts I and II: An Introduction to QUANTUM CHEMISRTY (Volume 1), P.W. Atkins, Oxford University Press, 1977, ISBN 0-19-855129-0
  5. ^ 費曼, 理查; 雷頓, 羅伯; 山德士, 馬修, 費曼物理學講義III量子力學(3)薛丁格方程式, 台灣: 天下文化書: pp. 205–237, 2006, ISBN 986-417-672-2