米尔斯常数

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米尔斯常数是使对于所有正整数n二重指数函数

 A^{3^{n}}\;

的整数部分都是素数的最小正实数A。这个常数以W·H·米尔斯命名,他在1947年证明了这个常数的存在。

米尔斯常数的值是未知的,但如果黎曼猜想成立,它的值大约为:

 A \approx 1.30637788386308069046...   A051021)。

米尔斯素数[编辑]

由米尔斯常数所产生的素数称为米尔斯素数;如果黎曼猜想成立,这个数列的最初几项为:

2, 11, 1361, 2521008887…… (OEIS中的数列A051254)。

如果用a(i)来表示数列中的第i个素数,则a(i)可以计算为大于a(i −1)3的最小的素数。为了保证当n = 1,2,3,……时,A3n的整数部分是这个素数数列,必须有a(i) < (a(i −1) + 1)3。Hoheisel和Ingham的结果保证了在任何两个足够大的立方数之间一定有一个素数,这足以证明这个不等式,如果我们从一个足够大的素数a(1)开始。从黎曼猜想,可以推出任何两个连续的立方数之间一定有一个素数,这样就可以去掉足够大的条件,并允许米尔斯素数的数列从a(1) = 2开始。

目前已知最大的米尔斯素数(假设黎曼猜想成立)是:

\displaystyle (((((((((2^3+3)^3+30)^3+6)^3+80)^3+12)^3+450)^3+894)^3+3636)^3+70756)^3+97220,

它有20,562位。

计算[编辑]

通过计算米尔斯素数,我们可以近似计算米尔斯常数为:

A\approx a(n)^{1/3^n}.

Caldwell & Cheng (2005)用这个方法计算出米尔斯常数的差不多七千位数。目前还没有闭合公式可以计算米尔斯常数,甚至不知道它是不是有理数Finch 2003)。

参见[编辑]

参考文献[编辑]

  • Finch, Steven R., Mills' Constant, Mathematical Constants, Cambridge University Press. 2003:  130–133, ISBN 0521818052 .

外部链接[编辑]