米迪定理

维基百科,自由的百科全书
跳转至: 导航搜索

米迪定理說明如果将化为b进制小数(其中p为质数,a是小于p的正整数),且小数的循环节长度是偶数[注 1],则有以下性质:

  • 若將這個分數用循環小數寫成,则

這個定理還可再推廣为广义米迪定理:若把长度2n的循环节划分为长度为k的个组,即,则的倍數。

[编辑]

(10进制)

循环节长度是16,是偶数,可应用米迪定理。

  • 0+9=10-1,5+4=10-1,8+1=10-1……
(10进制)

循环节长度是18,是偶数,可应用米迪定理。

  • 0+9=10-1,5+4=10-1,2+7=10-1……
  • (广义米迪定理,k=6)
  • (广义米迪定理,k=3)

定理的证明[编辑]

米迪定理可以用群论中的结果来证明。然而,也可以用算术同余来证明米迪定理:

p为素数,a/p是0与1之间的分数。假设在b进制中,a/p的展开式的周期为l,所以:

其中N是在b进制中的展开式为a1a2...al的整数。

因为且N为整数,所以必为p的倍数。另外,对于任何小于lnbn−1都不是p的倍数,否则在b进制中a/p的周期将小于l,这是不可能的。

现在,假设l=hk。那么bl−1是bk − 1的倍数。设bl − 1 = m(bk − 1),因此:

bl−1是p的倍数;bk−1不是p的倍数(因为k小于l);且p是素数;因此m一定是p的倍数,且

是整数。也就是说:

现在,把a1a2...al分成h个长度为k的部分,并设它们在b进制中表示N0...Nh − 1,所以:

为了证明b进制中广义的米迪定理,我们必须证明h个整数Ni的和是bk − 1的倍数。

由于bkbk−1除余1,任何bk的幂被bk − 1除也余1。因此:

这就证明了b进制中广义的米迪定理。

为了证明原先的米迪定理,取h = 2的特殊情况。注意N0N1b进制中都由k个数字表示,所以都满足

N0N1不能都等于0(否则a/p = 0),也不能都等于bk − 1(否则a/p = 1),因此:

由于N0 + N1bk − 1的倍数,所以有:

参考资料[编辑]

  1. ^ 有些质数的循环节长度是奇数,如3、31。

William G. Leavitt. A THEOREM ON REPEATING DECIMALS. The American Mathematical Monthly. 1967年6月, 74 (6): 669–673 [2014-12-29]. 

外部链接[编辑]