类数公式

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数论中,类数公式涉及了许多重要的不变量,是数域到其特殊的戴德金zeta函数赋值

类数公式的一般性陈述[编辑]

数域 K 有扩张[K:Q]=r=r1+2r2, K实素点个数, K复素点个数. K戴德金zeta函数记为: 则有下列不变量

  • K理想类群的阶
  • K素点
  • K单位根个数
  • KK/Q扩张的判别式
    • 定理1(类数公式)数域 K 的戴德金zeta函数

绝对收敛,并对复平面,且s =1时,只有一个极点的亚纯函数,其留数为:

这是最普遍的“类数公式”。在特殊情况下,例如当K是分圆域的扩张,也有简化的类数公式。

狄利克雷类数公式[编辑]

  • 以下参考达文波特。[1]狄利克雷在1839年证明了第一类数公式,但它是关于二次型的类数而不是理想类的证明。设d是一个基本单位判别式,写判别ð二次型等价类数h为(D)。是Kronecker符号,则χ是Dirichlet特征。记χ的LDirichlet L序列为L(s, χ),

对于d>0,让t> 0,u>0 则满足u是最小的解Pell方程,如记:(ε也是实2次域的基本单位基本单位的平方), 对于d<0,记w为判别式d的二次型的自同构个数,则:

然后狄利克雷证明出:

这是上述定理1一个特殊情况:只对一个二次域K戴德金zeta函数的结论:, 留数为.狄利克雷也证明了,L序列可以写成有限形式,从而类数也可以写成有限形式。类数有限的形式为:

参考文献[编辑]

  • W. Narkiewicz. Elementary and analytic theory of algebraic numbers 2nd ed. Springer-Verlag/Polish Scientific Publishers PWN. 1990: 324–355. ISBN 3-540-51250-0.