索伯列夫空间

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数学上,一个索伯列夫空间是一个由函数组成的賦範向量空間,对于某个给定的p ≥ 1,它对一个函数f和它的直到某个k导数加上有限Lp范数的这个条件。它以前苏联数学家舍蓋·索伯列夫來命名。

简介[编辑]

对于数学函数的光滑性有很多種。最基本的要求可能就是函数要连续,更進一步的要求是导数(因为可微函数也是连续的),再强一些的概念是导数的连续性(这些函数称为 — 参看光滑函数)。可微函数在很多领域相当重要,特别是在微分方程中。在二十世纪,人们发现函数空间不是研究微分方程的解的恰当的空间。

而索伯列夫空间正是空间的替代品,用于研究偏微分方程的解。

技术性讨论[编辑]

我们从最简单情况下的索伯列夫空间开始,也就是单位圆上的一维情况。在这个情况下,索伯列夫空间定义为Lp的子集,使得f和它的直到k阶的导数有一个有限的Lp范数,对于某个给定的p ≥ 1。定义正确意义上的导数时必须小心。在这个一维问题中,假设是几乎处处可微并且等于其导数的勒贝格积分(这可以排除康托函数这样的例子)就足够了。

按照这个定义,索伯列夫空间有一个自然的范数,

赋予了范数是一个完备空间。实际上只要取序列中的第一项和最后一项就可以了,也即,如下的范数

和上述范数等价

例子[编辑]

有些索伯列夫空间有简单的表述。例如,在一维情况,就是绝对连续函数空间,而W1,∞李普希兹函数空间。还有,可以自然地用其傅立叶级数的术语定义,也就是

其中f的傅立叶级数。和前面一样,可以采用等价的范数

两个表达都可以从帕塞瓦尔定理以及微分等价于傅立叶系数乘以in这个事实导出。这个特殊情况很重要,因此有一个特别的符号,:

非整数k的索伯列夫空间[编辑]

为避免混淆,在讨论不是整数k的时候,我们通常用s来取代它,也即或者

p = 2的情形[编辑]

p = 2的情形是最简单的情形,因为傅立叶表述可以直接推广。我们定义范数为

而索伯列夫空间为具有有限范数的函数的空间。

分数阶微分[编辑]

如果p不是2,就采取类似的方法。在这个情况下帕塞瓦尔定理不再成立,但是微分还是对应于在傅立叶域中的乘法,并且可以推广到非整数阶。因此,可以定义一个分数阶微分算子其阶为s,如下所示

换句话说,取傅立叶变换,乘以再取逆傅立叶变换(定义为傅立叶-乘法-逆傅立叶的算子称为乘子,这本身也是一个研究主题)。这使得我们可以定义的索伯列夫范数如下

而且,跟平常一样,索伯列夫空间是有有限索伯列夫范数的函数的空间。

复插值[编辑]

获取“分数索伯列夫空间”的另一个办法是采用复插值。复插值是一个通用的技术:对于任何0 ≤ t ≤ 1 和巴拿赫空间XY,且这二者都包含于某个更大的巴拿赫空间中,我们可以创建“过渡空间”,记为[X,Y]t。(后面将会讨论到一个不同的方法,所谓的实插值方法,它对于迹的分类的索伯列夫理论有重要的意义)。


这样的空间XY称为插值对。

下面提一些关于复插值的有用的定理:

定理 (插值): [ [X,Y]a , [X,Y]b ]c = [X,Y]cb+(1-c)a.

定理 (算子的插值): 若{X,Y}{A,B}是插值对,并且若T是一个线性映射,定义与X+Y到A+B中,使得T在X到A和Y到B上连续,则T从[X,Y]t[A,B]t上连续。并且有如下的插值不等式:

参看: Riesz-Thorin定理

回到索伯列夫空间上来,我们要通过对几个的插值得到非整数s。第一件事当然是看看这个可以给出一致的结果,而我们确实有

定理: ,如果n是一个整数使得n=tm。

因此,复插值是一个得到一个空间之间的空间的一个连续统的一致的方法。而且,它给出了和分数阶微分同样的空间(但参看延拓算子中的一个变化)。

多维情况[编辑]

现在考虑在Rn及其子集上的索伯列夫空间。从圆到线的变化只涉及傅立叶公式的技术细节 — 基本上就是将傅立叶级数变为傅立叶变换,将求和变为积分。到多维情况的转换有更大的难度,从定义就开始变化。的积分这个条件无法一般化,而最简单的解决办法是考虑分布理论意义下的导数。

由此可以得到一个形式化的定义。令DRn中开集。定义索伯列夫空间

为定义于D上的函数f的族,使得对于满足下式的每个多重索引

是一个函数,且

在它上面的一个合适的范数是所有这样的α上的那些Lp范数的和。它是完备的,因此是一个巴拿赫空间。

实际上,这个方法在一维也成立,并且和前面分数阶微分中所述并无多大区别。

例子[编辑]

在多维情况,有些结果不再成立,例如,只包含连续函数。例如,1/|x|属于,其中是三维的单位球。对于足够大的k将只包含连续函数,但是对于哪个k才够取决于p以及维数这二者。

但是,W1,∞的表述在做了必要的修改之后还是成立的。

索伯列夫嵌入[编辑]

索伯列夫空间的子集。一个很自然的问题是:有没有其它的Lp空间包含?如下的回答容许一个简单的表达(参看[1]):

定理:令。则如下命题成立:

  1. (作为集合)。而且,包含关系是一个有界算子
  2. 则所有有紧支撑的函数的元素,其中

[编辑]

s > ½。若X为开集,使得其边界 G"足够光滑",则我们可以定义映射P(也即,限制)如下

也即,u限制到边界G上。一个可能的光滑条件是一致ms。 (但是注意,这个矩阵迹没有关系。)

这个迹映射P其定义域为,而其像正好是。如果要完全形式化,P首先定义在无穷可微函数上,并且通过连续性扩展到整个。注意取迹'失去了半个导数'。

确定的迹映射的像要困难很多,需要使用实插值这个工具,在此不具体讨论。其最后的结果是Besov空间。事实上,在空间的情形,我们不是失去半个导数,我们失去了1/p个导数。

延拓算子[编辑]

X是开域,其边界不是太不良(例如,如果其边界为流形,或者满足更宽松但更奇特的“锥条件”)则存在一个算子AX的函数到Rn的函数,使得:

  1. Au(x) = u(x) 对于几乎所有X中的x以及
  2. A连续,从,对于任何1 ≤ p ≤ ∞ 以及整数k

我们称算子AX的延拓算子。

延拓算子是最自然的定义非整数s方法(我们不能直接在X进行,因为取傅立叶变化是一个整体操作)。我们定义为:u属于当且仅当Au属于。等价的有,复插值产生同样的空间只要X存在一个延拓算子。如果X没有一个延拓算子,复插值是唯一取得空间的办法。

因此,插值不等式仍然成立。

用零延拓[编辑]

我们定义为无穷可微紧支撑函数的空间中的闭包。给定一个迹的定义如上,我们可以给出如下命题

定理:令X为一致Cm正规空间,m ≥ s并令P为线性映射,将中的u映射到

其中d/dn是垂直于G的导数,而k是最大的小于s的整数。则正好是P的核。

,我们可以一种自然的方式定义它的零延拓,也就是

,否则

定理:令s>½。将u变为的映射是到中的连续映射,当且仅当s不是形为n+½(对于某个整数n)。

参考[编辑]

  1. ^ Stein, E., 《奇异积分和函数的可微性》(Singular Integrals and Differentiability Properties of Functions),普林斯顿大学出版社 (1970年)。 ISBN 0-691-08079-8