累积量

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概率论统计学中,一个随机变量累积量是指一系列能够提供和一样的信息的量。累积量和随机变量的矩密切相关。如果两个随机变量的各阶矩都一样,那么它们的累积量也都一样,反之亦然。在某些理论推导中,使用累积量更加方便。

简介[编辑]

一个随机变量阶累积量可以用所谓的累积生成函数来定义。

如果使用X(没有中心化)的n阶矩矩生成函数则可以定义:

使用形式幂级数定义的对数函数

随机变量的累积量和随机变量的矩密切相关。比如说,随机变量X有期望方差 ,那么它们也是前两阶的累积量:

对于一般的情况,累积量可以通过对生成函数(在0处)进行求导得到。也就是说,累积量是麦克劳林级数的系数。

要注意有时候阶矩会用角括号来表示:,累积量则用下标的角括号表示:

有些作者[1][2]偏向于定义累积生成函数为随机变量的特征函数诱导的自然对数。这种定义下的累积生成函数也被称为随机变量的第二类特征函数[3][4]

统计数学中的应用[编辑]

使用累积量的一个优势是它对应的生成函数是加性函数。比如说对两个独立的随机变量

它们的和的累积量是各自的累积量的和。

相關條目[编辑]

参考来源[编辑]

  1. ^ Kendall, M.G., Stuart, A. (1969) The Advanced Theory of Statistics, Volume 1 (3rd Edition). Griffin, London. (Section 3.12)
  2. ^ Lukacs, E. (1970) Characteristic Functions (2nd Edition). Griffin, London. (Page 27)
  3. ^ Lukacs, E. (1970) Characteristic Functions (2nd Edition). Griffin, London. (Section 2.4)
  4. ^ Aapo Hyvarinen, Juha Karhunen, and Erkki Oja (2001) Independent Component Analysis, John Wiley & Sons. (Section 2.7.2)

外部链接[编辑]