維格納分佈

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維格納分布(又名韋格納分佈,英文: Wigner Distribution Function,縮寫為WDF) 是由1963年的諾貝爾物理學獎得主尤金·维格纳,于1932年首次引用的一個新的方程式。 眾所皆知,傅立葉變換對於研究穩態(時間獨立)的訊號(波形)是一項非常有用的工具,然而,訊號(波形)一般來說在時間上並非是獨立的,這樣的訊號或是波形傅立葉變換並無法有效地完全分析其特性,因此對於一個非穩態的訊號完全分析需要測量出時間以及頻率上的表現。本頁面介紹的數學函數是時頻分析中的基礎方法,在1980年,Claasen,Mecklenbrauker對WDF做了更進一步的研究。除此之外,線性時頻分析中,STFT、Gabor transform和WDF扮演了相當重要的角色,其中WDF對於分析很多非穩態的隨機訊號都有很好的表現,例如:量子力學光學聲學通訊生物工程訊號處理影像處理。有時也被用在分析地震的資料,以及處理聲音的相位失真。

定義[编辑]

定義一[编辑]

W_x(t,f)= \int_{-\infty}^{\infty} x(t+\frac{\tau}{2})x^*( t-\frac{\tau}{2})e^{-j2\pi\tau f}\, d\tau .....(1)

定義二[编辑]

W_x(t,\omega)= \int_{-\infty}^{\infty} x(t+\frac{\tau}{2})x^*( t-\frac{\tau}{2})e^{-j\omega\tau}\, d\tau .....(2)

定義二與定義一之間的關係 : \omega=2\pi f

其他定義[编辑]

\sqrt{\frac{1}{2\pi}}W_x(t,\omega)= \int_{-\infty}^{\infty} x(t+\frac{\tau}{2})x^*( t-\frac{\tau}{2})e^{-j\omega\tau}\, d\tau .....(3)

聲納雷達系統中,傳送出去的聲波的反射波可以用來偵測目標物的位置跟速度,在很多情形下,收到的訊號因為都普勒位移,所以跟原本的訊號並不一樣。Woodward(1953) 改寫了原本的公式

A_x(t,\omega)= \int_{-\infty}^{\infty} x(\tau +\frac{t}{2})x^*( \tau-\frac{t}{2})e^{-j\omega\tau}\, d\tau

這個公式被稱為Woodward ambiguity function,這個式子在雷達系統的訊號處理和設計上扮演重要的角色。

WDF和STFT的比較[编辑]

WDF、STFT和Gabor transform 都佔了時頻分析中非常重要的地位,在這邊比較一下它們之間的差別。

WDF STFT
清晰度 較好 較差
相交項的問題 嚴重
複雜度

相交項其實就是處理的過程中產生的額外訊號,是不想要的,WDF的清晰度和複雜度是彼此做取捨的,可以依不同的情況或是不同的方法來決定是否要使用WDF或是另外兩種。

WDF的優缺點[编辑]

在這裡列出WDF主要的優缺點

優點 :

1.有良好的解析度,尤其是對單一成分,且瞬時頻率變化不為2次式以上。

2.有好的數學運算性質(見WDF的數學性質)。

3.可用於分析隨機程序。

缺點 :

1.有相交項(cross term)的問題,改進方法請見 改進型韋格納分佈

2.需要更多的時間去計算,若訊號時間越長,則需要更久的時間。

3.不是一對一函數,無法辨別相位部分,例如: WDF[x(t)] = WDF[x(t){e^{j\phi }}]

4.不適合分析瞬時頻率變化為2次式以上的型態,即{e^{j{t^n}}},n \ne 0,1,2

WDF的數學性質[编辑]

(1)投射特性 |x(t)|^2= \int_{-\infty}^{\infty} W_x(t,f)\, df , |X(f)|^2= \int_{-\infty}^{\infty} W_x(t,f)\, dt
(2)能量特性 |x(t)|^2= \iint_{-\infty}^{\infty} W_x(t,f)\, dt \, df =\int_{-\infty}^{\infty} |x(t)|^2 \, dt=\int_{-\infty}^{\infty} |X(f)|^2 \, df
(3)回覆特性 \int_{-\infty}^{\infty}W_x(\frac{t}{2},f)e^{j2\pi ft}\, df=x(t)\bullet x^*(0) , \int_{-\infty}^{\infty}W_x(t,\frac{f}{2})e^{j2\pi ft}\, dt=X(f)\bullet X^*(0)
(4)Moment特性 \iint_{-\infty}^{\infty} t^nW_x(t,f)\, dt\, df=\int_{-\infty}^{\infty} t^n|x(t)|^2\, dt, \iint_{-\infty}^{\infty} f^nW_x(t,f)\, dt\, df=\int_{-\infty}^{\infty} f^n|X(f)|^2\, dt
(5)W_x(t,f)是實數 \overline{W_x(t,f)}=W_x(t,f)
(6)區域特性 If x(t)=0 for t>t_0 then W_x(t,f)=0 for t>t_0, If x(t)=0 for t<t_0 then W_x(t,f)=0 for t<t_0
(7)乘法特性 If y(t)=x(t)h(t),then W_y(t,f)=\int_{-\infty}^{\infty} W_x(t,\rho)W_h(t-\rho,f)\, d\rho
(8)摺積特性 If y(t)=\int_{-\infty}^{\infty} x(t-\tau)h(\tau)\, d\tau,then W_y(t,f)=\int_{-\infty}^{\infty} W_x(\rho,f)W_h(t-\rho,f)\, d\rho
(9)相關特性 If y(t)=\int_{-\infty}^{\infty} x(t+\tau)h^*(\tau)\, d\tau,then W_y(t,\omega)=\int_{-\infty}^{\infty} W_x(\rho,\omega)W_h(-t+\rho,\omega)\, d\rho
(10)時間平移特性 If y(t)=x(t-t_0), then W_y(t,f)=W_x(t-t_0,f)
(11)調變特性 If y(t)=e^{j2\pi f_0t}x(t), then W_y(t,f)=W_x(t,f-f_0)

WDF實現方法[编辑]

以下為電腦計算WDF的實現方式

(i) 直接運算(暴力法)

複雜度 : TF(2Q+1)

(ii) 使用離散傅立葉變換

複雜度 : TN{\log _2}N

(iii) 使用Chirp-Z 轉換

複雜度 : TN{\log _2}N,通常為使用離散傅立葉變換的2~3倍,但限制比使用離散傅立葉變換

在使用這三個方法前,先來做個前提討論

從定義一出發

{W_x}\left( {t,f} \right) = \int_{ - \infty }^\infty {x\left( {t + \tau /2} \right) \cdot } {x^*}\left( {t - \tau /2} \right)\,{e^{ - j2\pi \,\tau \,f}} \cdot d\tau

\tau'=\tau/2

{W_x}\left( {t,f} \right) = 2\int_{ - \infty }^\infty {x\left( {t + \tau '} \right) \cdot } {x^*}\left( {t - \tau '} \right)\,{e^{ - j4\pi \,\tau '\,f}} \cdot d\tau '

再令 t = n\Delta_t, f = m\Delta_f,\tau'= p\Delta_t ,則上述式子則為

{W_x}\left( {n{\Delta _t},m{\Delta _f}} \right) = 2\sum\limits_{p = - \infty }^\infty {x\left( {(n + p){\Delta _t}} \right){x^ * }\left( {(n - p){\Delta _t}} \right)\exp \left( { - j4\pi \,mp{\Delta _t}{\Delta _f}} \right){\Delta _t}}

下面介紹的三種方法都是從這條式子開始推導

注意事項 :

若x(t)是無限長的訊號,則p要從負無限加到正無限,這點不易實現。

若x(t)為有限長的訊號,則p範圍可以縮小,就可能實現。


故下面三種方法都是在第2種情況下討論,即x(t)為有限長訊號,p範圍可以縮小

我們假設\ x(t)=0 \ \ for \ \ t < n_1\Delta_t \ \ and \ \ t > n_2\Delta_t


直接運算(暴力法)[编辑]


限制條件 :

只有一個 : 要滿足Nyquist criterion

{\Delta _t} < \frac{1}{{2B}},其中B是x\left( {t + \tau } \right){x^*}\left( {t - \tau } \right)\,的頻寬,大約是x(t)的兩倍。

推導 :

\ x(t)=0 \ \ for \ \ t < n_1\Delta_t \ \ and \ \ t > n_2\Delta_t

所以當n + p \notin [{n_1},{n_2}]{\rm{ or n - p}} \notin {\rm{[}}{n_1},{n_2}{\rm{]}} 時,

x\left( {(n + p){\Delta _t}} \right){x^ * }\left( {(n - p){\Delta _t}} \right) = 0

固定中間的n值 (n\Delta_t) 來探討p的範圍

{n_1} \le n + p \le {n_2} \to {n_1} - n \le p \le {n_2} - n

\max ({n_1} - n,n - {n_2}) \le p \le \min ({n_2} - n,n - {n_1}) -– (1)

{n_1} \le n - p \le {n_2} \to {\rm{ }}{{\rm{n}}_1} - n \le - p \le {n_2} - n \to n - {n_2} \le p \le n - {n_1}

 - \min ({n_2} - n,n - {n_1}) \le p \le \min ({n_2} - n,n - {n_1})-- (2)

其中 (1) & (2) 的下限是同義的

故(1) & (2)皆可改寫為

 - \min ({n_2} - n,n - {n_1}) \le p \le \min ({n_2} - n,n - {n_1})

且可以發現 ({n_2} - n){\Delta _t},(n - {n_1}){\Delta _t} 代表 n\Delta_t 離兩個邊界的距離

注意事項: 當 n > n2 或 n < n1 時,將沒有 p 能滿足上面的不等式

最後推導出的式子如下

{W_x}\left( {n{\Delta _t},m{\Delta _f}} \right) = 2\sum\limits_{p = - Q}^Q {x\left( {(n + p){\Delta _t}} \right){x^ * }\left( {(n - p){\Delta _t}} \right)\exp \left( { - j4\pi \,mp{\Delta _t}{\Delta _f}} \right){\Delta _t}}

其中 Q = \min ({n_2} - n,n - {n_1})\,,p \in [ - Q,Q],n \in [{n_1},{n_2}]

使用離散傅立葉變換[编辑]


限制條件 :

(1)要滿足Nyquist criterion

{\Delta _t} < \frac{1}{{2B}},其中B是x\left( {t + \tau } \right){x^*}\left( {t - \tau } \right)\,的頻寬,大約是x(t)的兩倍。

(2){\Delta _t}{\Delta _f} = {\textstyle{1 \over {2N}}}

(3) N \ge 2Q+1

推導 :

前提討論的式子可以改寫為

{W_x}\left( {n{\Delta _t},m{\Delta _f}} \right) = 2{\Delta _t}\sum\limits_{p = - Q}^Q {x\left( {(n + p){\Delta _t}} \right){x^ * }\left( {(n - p){\Delta _t}} \right){e^{ - j{\textstyle{{2\pi \,mp} \over N}}}}}

q=p+Q \to p=q-Q

{W_x}\left( {n{\Delta _t},m{\Delta _f}} \right) = 2{\Delta _t}{e^{j{\textstyle{{2\pi \,mQ} \over N}}}}\sum\limits_{q = 0}^{2Q} {x\left( {(n + q - Q){\Delta _t}} \right){x^ * }\left( {(n - q + Q){\Delta _t}} \right){e^{ - j{\textstyle{{2\pi \,mq} \over N}}}}}

針對中間x\left( {(n + q - Q){\Delta _t}} \right){x^ * }\left( {(n - q + Q){\Delta _t}} \right)

{c_1}\left( q \right) = x\left( {(n + q - Q){\Delta _t}} \right){x^ * }\left( {(n - q + Q){\Delta _t}} \right){\rm{ }} , for{\rm{ 0}} \le q \le 2{\rm{Q}}

{c_1}\left( q \right) = 0{\rm{ }}\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad, for{\rm{ 2}}Q + 1 \le q \le N - 1


最後得出的式子如下

{W_x}\left( {n{\Delta _t},m{\Delta _f}} \right) = 2{\Delta _t}{e^{j{\textstyle{{2\pi \,mQ} \over N}}}}\sum\limits_{q = 0}^{N - 1} {{c_1}\left( q \right){e^{ - j{\textstyle{{2\pi \,mq} \over N}}}}}

其中

Q = \min ({n_2} - n,n - {n_1})\,,n \in [{n_1},{n_2}]

{c_1}\left( q \right) = x\left( {(n + q - Q){\Delta _t}} \right){x^ * }\left( {(n - q + Q){\Delta _t}} \right){\rm{ }} , for{\rm{ 0}} \le q \le 2{\rm{Q}}

{c_1}\left( q \right) = 0{\rm{ }}\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad, for{\rm{ 2}}Q + 1 \le q \le N - 1

使用Chirp-Z 轉換[编辑]


限制條件 :

只有一個 : 要滿足Nyquist criterion

{\Delta _t} < \frac{1}{{2B}},其中B是x\left( {t + \tau } \right){x^*}\left( {t - \tau } \right)\,的頻寬,大約是x(t)的兩倍。

推導 :

前提討論的式子可改寫為

{W_x}\left( {n{\Delta _t},m{\Delta _f}} \right) = 2{\Delta _t}\,{e^{ - j2\pi \,{m^2}{\Delta _t}{\Delta _f}}}\sum\limits_{p = - Q}^Q {x\left( {(n + p){\Delta _t}} \right){x^ * }\left( {(n - p){\Delta _t}} \right){e^{ - j2\pi \,{p^2}{\Delta _t}{\Delta _f}}}{e^{j2\pi \,{{(p - m)}^2}{\Delta _t}{\Delta _f}}}}

計算分成3步驟

STEP 1 : {x_1}\left( {n,p} \right) = x\left( {(n + p){\Delta _t}} \right){x^ * }\left( {(n - p){\Delta _t}} \right){e^{ - j2\pi \,{p^2}{\Delta _t}{\Delta _f}}}

STEP 2 : {X_2}\left[ {n,m} \right] = \sum\limits_{p = n - Q}^{n + Q} {{x_1}\left[ p \right]\,c\left[ {m - p} \right]}

其中c\left[ m \right] = {e^{j2\pi \,{m^2}{\Delta _t}{\Delta _f}}}

STEP 3 : X\left( {n{\Delta _t},m{\Delta _f}} \right) = 2{\Delta _t}\,{e^{ - j2\pi \;{m^2}{\Delta _t}{\Delta _f}}}{X_2}\left[ {n,m} \right]

延伸變化[编辑]

視窗型韋格納分佈[编辑]

視窗型韋格納分佈Windowed Wigner Distribution Function),在韋格納分佈中,當x(t)為無限長訊號時,WDF很難去實現它。所以在積分中加入一個新的函數 ,目的是擷取x(t)中的片段來計算,不需從負無限積分到正無限。

定義

{W_x}\left( {t,f} \right) = \int_{ - \infty }^\infty {w\left( \tau \right)x\left( {t + \tau /2} \right) \cdot } {x^*}\left( {t - \tau /2} \right)\,{e^{ - j2\pi \,\tau \,f}} \cdot d\tau 其中w(\tau)為實數且為有限長訊號

原始韋格納分佈定義 {W_x}\left( {t,f} \right) = \int_{ - \infty }^\infty {x\left( {t + \tau /2} \right) \cdot } {x^*}\left( {t - \tau /2} \right)\,{e^{ - j2\pi \,\tau \,f}} \cdot d\tau

優缺點

優點 : (1) 降低運算時間,因為w(\tau)為有限長函數。 (2) 可以有效降低相交項(cross term)問題,但不能完全消除(詳見下方說明)。

缺點 : (1) 一些相交項(cross term)問題仍被保留。 (2) 可能不符合譜密度(Power spectral density)的定義。 (3) 一些好用的數學運算性質會消失。

實現方法

從定義出發 {W_x}\left( {t,f} \right) = \int_{ - \infty }^\infty {w\left( \tau \right)x\left( {t + \tau /2} \right) \cdot } {x^*}\left( {t - \tau /2} \right)\,{e^{ - j2\pi \,\tau \,f}} \cdot d\tau \tau=\tau'/2 {W_x}\left( {t,f} \right) = 2\int_{ - \infty }^\infty {w\left( {2\tau '} \right)x\left( {t + \tau '} \right) \cdot } {x^*}\left( {t - \tau '} \right)\,{e^{ - j4\pi \,\tau '\,f}} \cdot d\tau ' 再令t = n\Delta_t, f = m\Delta_f,\tau'= p\Delta_t {W_x}\left( {n{\Delta _t},m{\Delta _f}} \right) = 2\sum\limits_{p = - \infty }^\infty {w\left( {2p{\Delta _t}} \right)x\left( {(n + p){\Delta _t}} \right){x^ * }\left( {(n - p){\Delta _t}} \right){e^{ - j4\pi \,mp{\Delta _t}{\Delta _f}}}{\Delta _t}} 假設w(t) = 0 for |t| > B 即 w\left( {2p{\Delta _t}} \right) = 0{\rm{ }} \ for{\rm{ }} \ p < - Q{\rm{ }}\ \and \ p > Q 其中Q = \frac{B}{{2{\Delta _t}}} 如此一來,p範圍便可縮小。 {W_x}\left( {n{\Delta _t},m{\Delta _f}} \right) = 2\sum\limits_{p = - Q}^Q {w\left( {2p} \right)x\left( {(n + p){\Delta _t}} \right){x^ * }\left( {(n - p){\Delta _t}} \right){e^{ - j4\pi \,mp{\Delta _t}{\Delta _f}}}{\Delta _t}}

避免相交項的原因

從定義出發 {W_x}\left( {t,f} \right) = \int_{ - \infty }^\infty {w\left( \tau \right)x\left( {t + \tau /2} \right) \cdot } {x^*}\left( {t - \tau /2} \right)\,{e^{ - j2\pi \,\tau \,f}} \cdot d\tau 其中w(\tau)為實數且為有限長訊號 假設x(t){\rm{ = }}\delta (t - {t_1}) + \delta (t - {t_2})的情況下 比較有無mask function的不同

x(t)示意圖

理想情形 : {W_x}(t,f){\rm{ = 0 }} \ for{\rm{ }}t \ne {t_1},{t_2}

沒有使用mask function

即mask function w(\tau ) = 1

\begin{array}{l}
{W_x}\left( {t,f} \right) = \int_{ - \infty }^\infty {x\left( {t + \tau /2} \right) \cdot } {x^*}\left( {t - \tau /2} \right)\,{e^{ - j2\pi \,\tau \,f}} \cdot d\tau \\
 = \int_{ - \infty }^\infty {\left[ {\delta \left( {t + \frac{\tau }{2} - {t_1}} \right) + \delta \left( {t + \frac{\tau }{2} - {t_2}} \right)} \right] \cdot } \left[ {\delta \left( {t - \frac{\tau }{2} - {t_1}} \right) + \delta \left( {t - \frac{\tau }{2} - {t_2}} \right)} \right]{e^{ - j2\pi \,\tau \,f}} \cdot d\tau \\
 = 4\int_{ - \infty }^\infty {\left[ {\delta \left( {\tau + 2t - 2{t_1}} \right) + \delta \left( {\tau + 2t - 2{t_2}} \right)} \right] \cdot } \left[ {\delta \left( {\tau - 2t + 2{t_1}} \right) + \delta \left( {\tau - 2t + 2{t_2}} \right)} \right]{e^{ - j2\pi \,\tau \,f}} \cdot d\tau 
\end{array}

Wx(t,f)示意圖

總共有3種情況要討論

ideal x(t)。Auto term 為自相關項。 Cross term為相交項
使用mask function

\begin{array}{l}
{W_x}\left( {t,f} \right) = \int_{ - \infty }^\infty {w(\tau )x\left( {t + \tau /2} \right) \cdot } {x^*}\left( {t - \tau /2} \right)\,{e^{ - j2\pi \,\tau \,f}}d\tau \\
 = 4\int_{ - \infty }^\infty {w(\tau )\left[ {\delta \left( {\tau + 2t - 2{t_1}} \right) + \delta \left( {\tau + 2t - 2{t_2}} \right)} \right] \cdot } \left[ {\delta \left( {\tau - 2t + 2{t_1}} \right) + \delta \left( {\tau - 2t + 2{t_2}} \right)} \right]{e^{ - j2\pi \,\tau \,f}}d\tau 
\end{array}

假設w(\tau ) = 0{\rm{ }} \ for|\tau | > B 如果B{\rm{ < }}{{\rm{t}}_2}{\rm{ - }}{{\rm{t}}_1}

ideal x(t)。

由於w(\tau )只在-B到B有值,故乘上w(\tau )就能去除相交項(Cross term),而保留上圖中兩條紅線中間的區域,也就是Auto term。

但上述其實是理想的情況,x(t)為Delta function是窄頻信號。 如果X(τ)寬度太寬或是有ripple的話,Cross term仍會有殘留,示意圖如下

non ideal x(t)。

藍色線為X(τ)的訊號,若X(τ)的寬度太寬或是有ripple產生,就可能會跑進w(\tau )的範圍裡面,進而導致無法完全濾除Cross term。

改進型韋格納分佈[编辑]

此方法可以消除相交項(cross term)。