本页使用了标题或全文手工转换

線性無關

维基百科,自由的百科全书
跳转至: 导航搜索
线性代数
向量 · 矩阵  · 行列式  · 线性空间

線性代數裡,向量空間的一組元素中,若沒有向量可用有限個其他向量的線性組合所表示,则稱為線性無關線性獨立linearly independent),反之稱為線性相關linearly dependent)。例如在三維歐幾里得空間R3的三個向量(1, 0, 0),(0, 1, 0)和(0, 0, 1)線性無關。但(2, −1, 1),(1, 0, 1)和(3, −1, 2)線性相關,因為第三個是前兩個的和。

定義[编辑]

假設V是在K上的向量空間。如果v1, v2, ..., vnV的向量,稱它們為線性相關,如果從域K 中有非全零的元素a1, a2, ..., an,適合

或更簡略地表示成,

(注意右邊的零是V的零向量,不是K的零元素。)

如果K中不存在這樣的元素,那麼v1, v2, ..., vn線性無關

線性無關可以給出更直接的定義。向量v1, v2, ..., vn線性無關,若且唯若它們滿足以下條件:如果a1, a2, ..., anK的元素,適合:

a1v1 + a2v2 + ... + anvn = 0,

那麼對所有i = 1, 2, ..., n都有ai = 0。

V中的一個無限集,如果它任何一個有限子集都是線性無關,那麼原來的無限集也是線性無關。

線性相關性是線性代數的重要概念,因為線性無關的一組向量可以生成一個向量空間,而這組向量則是這向量空間的

相關性[编辑]

  • 含有零向量的向量組,必定線性相關。
若有向量組,其中,則
  • 含有兩個相等向量的向量組,必定線性相關。
若有向量組,其中,則
  • 若一向量組相關,則加上任意個向量後,仍然線性相關;即局部線性相關,整體必線性相關。
  • 整體線性無關,局部必線性無關。
  • 向量個數大於向量維數,則此向量組線性相關。
  • 若一向量組線性無關,即使每一向量都在同一位置處增加一分量,仍然線性無關。
  • 若一向量組線性相關,即使每一向量都在同一位置處減去一分量,仍然線性相關。
  • 線性無關,而線性相關,則必可由線性表示,且表示係數唯一。
  • 有向量組,其中,且中每個向量都可由線性表示,則向量組必線性相關。即向量個數多的向量組,若可被向量個數少的向量組線性表示,則向量個數多的向量組必線性相關。
  • 若一向量組可由向量組線性表示,且線性無關,則。即線性無關的向量組,無法以向量個數較少的向量組線性表示。

例子1[编辑]

V = Rn,考虑V内的以下元素:

e1e2、……、en是线性无关的。

证明[编辑]

假设a1a2、……、anR中的元素,使得:

由于

因此对于{1, ..., n}内的所有i,都有ai = 0。

例子2[编辑]

V是实变量t的所有函数向量空间。则V内的函数ete2t是线性无关的。

证明[编辑]

假设ab是两个实数,使得对于所有的t,都有:

aet + be2t = 0

我们需要证明a = 0且b = 0。我们把等式两边除以et(它不能是零),得:

bet = −a

也就是说,函数bett一定是独立的,这只能在b = 0时出现。可推出a也一定是零。

例子3[编辑]

R4内的以下向量是线性相关的。

证明[编辑]

我们需要求出标量,使得:

可以形成以下的方程组

解这个方程组(例如使用高斯消元法),可得:

由于它们都是非平凡解,因此这些向量是线性相关的。