纤维丛

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数学上,特别是在拓扑学中,一个纤维丛是一个局部看来像两个空间的直积的空间,但是整体可能有不同的结构。每个纤维丛對應一个连续满射

\pi :E\rightarrow B

並對每個E的局部空間(需存在B的局部空間能夠保持上述的滿射),都存在一個FF稱作纖維空間),使得E直积空间B × F同胚。(通常會用此滿射:π : EB來表示一個纖維叢,而忽略F

(这里局部表示在B局部。)一个可以整体上如此表达的丛(通过一个保持π的同胚)叫做平凡丛。丛的理论建立在如何用一些比这个直接的定义更简单的方法表达丛不是平凡丛的意义的问题之上。

纤维丛扩展了向量丛,向量丛的主要实例就是流形切丛。他们在微分拓扑微分几何领域有着重要的作用。他们也是规范场论的基本概念。

形式化定义[编辑]

一个纤维丛由四元组(E, B, π, F)组成,其中E, B, F拓扑空间而π : EB是一个 连续满射,满足下面给出的局部平凡条件。B称为丛的基空间E称为总空间,而F称为纤维。映射π称为投影映射.下面我们假定基空间B连通的。

我们要求对于B中的每个x,存在一个x的开邻域U,使得π−1U)是同胚积空间U × F的,并满足π转过去就变成到第一个因子的投影。也就是一下的图可交换

Local triviality condition

其中proj1 : U × FU是自然投影而φ : π−1(U) → U × F是一个同胚。所有{(Ui, φi)}的集合称为丛的局部平凡化

对于B中每个x,原象π−1(x)和F同胚并称为x上的纤维.一个纤维丛(E, B, π, F)经常记为

F \longrightarrow E \ \xrightarrow{\, \ \pi \ } \ B

以引入一个空间的短恰当序列。注意每个纤维从π : EB都是一个开映射,因为积空间的投影是开映射。所以B有由映射π决定的商拓扑.

一个光滑纤维丛是一个在光滑流形范畴内的纤维丛。也就是,E, B, F都必须是光滑流形而所有上面用到的函数都必须是光滑映射。这是纤维丛研究和使用的通常环境。

例子[编辑]

E = B × F并令π : EB为对第一个因子的投影,则EB上的丛.这里E不仅是局部的积而且是整体的积。任何这样的纤维丛称为平凡丛.

莫比乌斯带是圆上的非平凡丛。

最简单的非平凡丛的例子可能要算莫比乌斯带(Möbius strip).莫比乌斯带是一个以为基空间B并以线段为纤维F的丛。对于一点x \in B的邻域是一段圆弧;在图中,就是其中一个方块的长。原象\pi^{-1}(U)在图中是个(有些扭转的)切片,4个方块宽一个方块长。同胚φ把U的原象映到柱面的一块:弯曲但不扭转.

相应的平凡丛B × F看起来像一个圆柱,但是莫比乌斯带有个整体上的扭转。注意这个扭转只有整体上才能看出来;局部看来莫比乌斯带和圆柱完全一样(在其中任何一个竖直的切一刀会产生同样的空间).

一个类似的非平凡丛是克莱因瓶,它可以看作是一个"扭转"的圆在另一个圆上的丛。相应的平凡丛是一个环, S1 × S1.

一个覆盖空间是一个以离散空间为纤维的纤维丛。

纤维丛的一个特例,叫做向量丛,是那些纤维为向量空间的丛(要成为一个向量丛,丛的结构群—见下面—必须是一个线性群)。向量丛的重要实例包括光滑流形的切丛余切丛

另一个纤维丛的特例叫做主丛。更多的例子参看该条目。

一个球丛是一个纤维为n維球面的纤维丛。给定一个有度量的向量丛(例如黎曼流形的切丛),可以构造一个相应的单位球丛,其在一点x的纤维是所有Ex的单位向量的集合.

截面[编辑]

纤维丛的截面(section或者cross section)是一个连续映射f : BE使得π(f(x))=x对于所有B中的x成立。因为丛通常没有全局有定义的截面,理论的一个重要作用就是检验和证明他们的存在性。这导致了代数拓扑示性类理论。

截面经常只被局部的定义(特别是当全局截面不存在时)。纤维丛的局部截面是一个连续映射f : UE其中U是一个B中的开集而π(f(x))=x对所有U中的x成立。若(U, φ)是一个局部平凡化图,则局部截面在 U上总是存在的。这种截面和连续映射UF有1-1对应。截面的集合组成一个(sheaf)。

结构群和转移函数[编辑]

纤维丛经常有一个对称描述重叠的图之间的相容条件。特别的,令G为一个拓扑群,它连续的从左边作用在纤维空间F上。不失一般性的,我们可以要求G有效的作用在F上,以便把它看成是F同胚群。丛的一个G-图册E, B, π, F)是一个局部平凡化,使得对任何两个重叠的图(Ui, φi)和(Uj, φj)函数

\phi_i\phi_j^{-1} : (U_i \cap U_j) \times F \to (U_i \cap U_j) \times F

可以这样给出:

\phi_i\phi_j^{-1}(x, \xi) = (x, t_{ij}(x)\xi)

其中t_{ij} : U_i \cap U_j \to G是一个称为转移函数的连续映射。两个G-图集等效如果他们的并也是一个G-图集。一个G-丛是一个有G-图集等价类的纤维丛。群G成为该丛的结构群.

在光滑范畴中,一个G-丛是一个光滑纤维丛,其中G是一个李群而相应的在F上的作用是光滑的并且变换函数都是光滑映射。

转移函数tij满足以下条件

  1. t_{ii}(x) = 1
  2. t_{ij}(x) = t_{ji}(x)^{-1}
  3. t_{ik}(x) = t_{ij}(x)t_{jk}(x)

这三个条件用到重叠的三元组U_i \cap U_j \cap U_k上叫做上链条件 (见Čech上同调).

一个主丛是一个G-丛,其纤维可以认为是G本身,并且有一个在全空间上的G的右作用保持纤维不变。

参见[编辑]

外部链接[编辑]

参考[编辑]

  • Norman Steenrod, The Topology of Fiber Bundles, Princeton University Press (1951). ISBN 0-691-00548-6.
  • David Bleecker, Gauge Theory and Variational Principles, Addison-Wesley publishing, Reading, Mass (1981). ISBN 0-201-10096-7. See chapter one.