约翰·冯·诺伊曼

约翰·冯·诺伊曼 John von Neumann
20世纪40年代的冯·诺伊曼
出生	(1903-12-28)1903年12月28日 奥匈帝国匈牙利王国布达佩斯
逝世	1957年2月8日(1957-02-08)（53歲） 美国华盛顿特区
居住地	美国
国籍	匈牙利 美国
母校	罗兰大学 苏黎世联邦理工学院
知名于	阿贝尔-冯·诺依曼代数 Affiliated operator 可均群 代数逻辑单位元 Artificial viscosity 正则公理 大小限制公理 逆向归纳 爆炸波 有界集 (拓扑向量空间) 类 (集合论) 退相干理论 计算机病毒 Commutation theorem 连续几何 直积分 Doubly stochastic matrix Duality Theorem 密度矩阵 杜宾-瓦特森统计量 博弈论 Hyperfinite type II factor 平均遍历定理 EDVAC explosive lenses 格理论 Lifting theory 内模型 Interior point method 希尔伯特第五问题 Mutual assured destruction 归并排序 平方取中法 极小化定理 蒙特卡洛方法 正则形式博弈 无点拓扑 极化恒等式 伪随机性 PRNG Quantum mutual information 辐射聚爆 Rank ring 算子理论 Operation Greenhouse Self-replication Software whitening Standard probability space Stochastic computing Subfactor 冯·诺依曼代数 冯·诺依曼结构 Von Neumann bicommutant theorem Von Neumann cardinal assignment 冯·诺依曼细胞自动机 von Neumann constant (two of them) 冯·诺依曼诠释 冯·诺依曼测量方案 冯·诺依曼基数 Von Neumann universal constructor 冯·诺依曼熵 冯·诺依曼方程 冯·诺依曼邻域 冯·诺依曼方程悖论 冯·诺依曼常规环 Von Neumann–Bernays–Gödel set theory 冯·诺依曼谱论 冯·诺依曼宇宙 冯·诺依曼猜想 冯·诺依曼不等式 斯通-冯·诺依曼定理 冯·诺依曼迹不等式 冯·诺依曼稳定性分析 量子统计力学 Von Neumann extractor 极强拓扑 冯·诺依曼-摩根斯腾有用性定理 ZND detonation model
奖项	博修纪念奖 (1938) 恩里科·費米獎 (1956)
科学生涯
研究领域	数学、量子力学、计算机学、经济学
机构	柏林大学 普林斯顿大学 普林斯顿高等研究院 洛斯阿拉莫斯国家实验室
博士導師	费耶尔·利波特
博士生	唐纳德·B·吉利斯 以色列·霍尔珀林
其他著名學生	保罗·哈尔莫斯 克利福德·休·窦克尔 伯努瓦·曼德勃罗

约翰·冯·诺伊曼（德語：John von Neumann，1903年12月28日—1957年2月8日），原名诺伊曼·亚诺什·拉约什（Neumann János Lajos），出生於匈牙利的美國籍猶太人数学家，在泛函分析、遍历理论、几何学、拓扑学、数值分析等众多数学领域及電腦科學、量子力學、经济学中都有重大貢獻，被誉为“博弈论之父”、“计算机之父”。冯·诺伊曼从小就以过人的智力与记忆力而闻名。冯·诺伊曼一生中发表了約150篇论文，其中有60篇纯数学论文、20篇物理学、60篇应用数学论文。他最后的作品是一个未完成的手稿，后来以书名《计算机与人脑》（The Computer and the Brain）发布，表现了他生命最后时光的兴趣方向。他先后任职于美国普林斯顿大学、普林斯顿高等研究院。

生平與教育

家庭背景

馮·諾伊曼於1903年12月28日出生於匈牙利王國（當時為奧匈帝國的一部分）的布達佩斯，，出生於一個富裕、非虔誠的猶太家庭。他的出生名為Neumann János Lajos。在匈牙利語中，姓氏在前，他的名字相當於英語中的John Louis.

他是三個兄弟中的長子；他的兩個弟弟是Mihály（Michael）和Miklós（Nicholas）。他的父親Neumann Miksa（Max von Neumann）是一位銀行家，擁有法學博士學位。他在1880年代末從佩奇搬到布達佩斯。 Miksa的父親和祖父出生於匈牙利北部澤普倫州的Ond（今屬塞倫奇）。約翰的母親是Kann Margit（Margaret Kann）；她的父母是邁澤爾家族的Kann Jákab和Meisels Katalin. Kann家族三代人住在布達佩斯Kann-Heller辦公室上方寬敞的公寓中；馮·諾伊曼的家庭佔據了頂層一間有18個房間的公寓。

1913年2月20日，弗朗茨·約瑟夫一世因約翰的父親對奧匈帝國的貢獻而將他提升為匈牙利貴族。 諾伊曼家族因此獲得了世襲稱號Margittai，意為「Margitta的」（今馬爾吉塔，羅馬尼亞）。這個家族與該鎮沒有關聯；這個稱號是參照Margaret而選擇的，他們的紋章也描繪了三朵瑪格麗特花。Neumann János成為margittai Neumann János（John Neumann de Margitta），後來他將其改為德語的Johann von Neumann.

神童

馮·諾伊曼是一個神童。他、他的兄弟和表兄弟由家庭教師授課。馮·諾伊曼的父親認為，除了母語匈牙利語之外，了解其他語言是必不可少的，因此孩子們接受了英語、法語、德語和義大利語的輔導。據傳說，到八歲時，馮·諾伊曼已經熟悉微分和積分，到十二歲時，他已經讀過博雷爾的《La Théorie des Fonctions》。他也對歷史感興趣，閱讀了威廉·翁肯的46卷世界史系列《Allgemeine Geschichte in Einzeldarstellungen》（《專論通史》）。公寓中的一個房間被改造成圖書館和閱覽室。

馮·諾伊曼於1914年進入路德會的法索里福音中學。尤金·維格納在學校比他高一屆，很快成為他的朋友。

儘管馮·諾伊曼的父親堅持要他按照適合他年齡的年級上學，但他同意聘請私人教師為馮·諾伊曼提供高級指導。15歲時，他開始在分析學家加博爾·塞格的指導下學習高等微積分。據塞格的妻子回憶，在他們第一次見面時，塞格對馮·諾伊曼的數學天賦和速度感到如此震驚，以至於他回家時眼中含淚。到19歲時，馮·諾伊曼已經發表了兩篇重要的數學論文，其中第二篇給出了序數的現代定義，取代了格奧爾格·康托爾的定義。在中學教育結束時，他申請並贏得了厄特沃什獎，這是一項國家數學獎。

大學研究

據他的朋友西奧多·馮·卡門說，馮·諾伊曼的父親希望約翰跟隨他進入工業界，並請馮·卡門勸說他的兒子不要學數學。馮·諾伊曼和他的父親決定最好的職業道路是化學工程。這不是馮·諾伊曼很了解的領域，因此安排他在柏林大學攻讀為期兩年的非學位化學課程，之後他參加了蘇黎世聯邦理工學院的入學考試，並於1923年9月通過。同時，馮·諾伊曼進入帕茲馬尼·彼得大學（當時稱為布達佩斯大學），作為博士候選人攻讀數學。他的論文是對康托爾集合論的公理化。1926年，他從蘇黎世聯邦理工學院畢業成為化學工程師，同時在布達佩斯大學以優等通過了他的數學博士學位最終考試（副修實驗物理學和化學）。

隨後，他獲得洛克菲勒基金會的資助前往哥廷根大學，在大衛·希爾伯特指導下學習數學。赫爾曼·外爾回憶說，在1926至1927年的冬天，馮·諾伊曼、埃米·諾特和他在課後走過「哥廷根寒冷、潮濕、雨淋的街道」，討論超複數系統及其表示。

職業與私人生活

腓特烈·威廉大學柏林1928年和1928/29年大學行事曆摘錄，宣布諾伊曼關於函數論II、公理集合論和數學邏輯、數學討論會、量子力學近期工作回顧、數學物理特殊函數和希爾伯特證明論的講座。他還講授了相對論、集合論、積分方程和無窮多變量分析。

馮·諾伊曼的特許任教資格於1927年12月13日完成，他於1928年開始在柏林大學作為Privatdozent授課。他是該大學歷史上最年輕的Privatdozent。他開始幾乎每月撰寫一篇重要的數學論文。1929年，他短暫成為漢堡大學的Privatdozent，那裡成為終身教授的前景更好，然後在同年10月搬到普林斯頓大學擔任數學物理訪問講師。

馮·諾伊曼於1930年受洗成為天主教徒。不久之後，他與在布達佩斯大學學習經濟學的瑪麗埃塔·科韋西結婚。馮·諾伊曼和瑪麗埃塔有一個女兒瑪麗娜，出生於1935年；她後來成為教授。這對夫婦於1937年11月2日離婚。1938年11月17日，馮·諾伊曼與克拉拉·丹結婚。

1933年，馮·諾伊曼接受了新澤西州普林斯頓高等研究院的終身教職，當時該機構任命赫爾曼·外爾的計劃似乎已經失敗。馮·諾伊曼將他的名字英國化為John，保留了德國貴族姓氏馮·諾伊曼。馮·諾伊曼於1937年成為歸化美國公民，並立即嘗試成為美國陸軍預備役軍官團的中尉。他通過了考試，但因年齡而被拒絕。他的母親、兄弟和姻親於1939年跟隨馮·諾伊曼來到美國。

克拉拉和約翰·馮·諾伊曼在當地學術界社交活躍。他在Westcott Road上的白色護牆板房屋是普林斯頓最大的私人住宅之一。他總是穿著正式西裝。他喜歡意第緒和「葷」幽默。馮·諾伊曼在嘈雜、混亂的環境中完成了他最好的一些工作。在普林斯頓，他因播放極大聲的德國進行曲音樂而受到投訴。據邱吉爾·艾森哈特說，馮·諾伊曼可以參加派對到凌晨，然後在8:30發表演講。

他以總是樂於為各種能力水平的人提供科學和數學建議而聞名。維格納寫道，他可能指導了比其他任何現代數學家都多的工作（以非正式意義而言）。他的女兒寫道，他非常關心自己在兩個方面的遺產：他的生活和他在世界上智力貢獻的持久性。

許多人認為他是一位出色的委員會主席，在個人或組織事務上很容易讓步，但在技術事務上堅持不懈。赫伯特·約克將他參與的許多「馮·諾伊曼委員會」描述為「在風格和產出上都非凡」。馮·諾伊曼主持的委員會直接和密切地與必要的軍事或企業實體合作的方式，成為所有空軍遠程飛彈計劃的藍圖。許多認識馮·諾伊曼的人都對他与軍事和權力結構的關係感到困惑。斯坦尼斯瓦夫·烏拉姆懷疑他對能夠影響他人思想和決策的人或組織有隱藏的欽佩。

他還保持著年輕時學到的語言知識。他能流利地使用匈牙利語、法語、德語和英語，並保持義大利語、意第緒語、拉丁語和古希臘語的會話水平。他的西班牙語不太完美。他對古代歷史有熱情和百科全書式的知識，並且喜歡閱讀古希臘歷史學家的原著希臘語。烏拉姆懷疑這些可能塑造了他對未來事件如何發展以及人性和社會總體如何運作的看法。

馮·諾伊曼在美國最親密的朋友是數學家斯坦尼斯瓦夫·烏拉姆。馮·諾伊曼相信他的許多數學思維是直覺發生的；他經常帶著未解決的問題入睡，醒來時就知道答案。烏拉姆注意到馮·諾伊曼的思維方式可能不是視覺的，而更多是聽覺的。烏拉姆回憶說：「完全獨立於他對抽象機智的喜愛，他對更粗俗類型的喜劇和幽默有強烈的欣賞（可以說幾乎是渴望）」。

病逝

馮·諾伊曼的墓碑

1955年，在馮·諾伊曼的鎖骨附近發現了一個腫塊，結果證明是起源於骨骼、胰腺或前列腺的癌症。（雖然普遍同意腫瘤已經轉移，但來源對原發癌症的位置有所不同。）惡性腫瘤可能是由在洛斯阿拉莫斯國家實驗室接觸輻射引起的。隨著死亡臨近，他要求見神父，儘管神父後來回憶說馮·諾伊曼在接受臨終聖事時幾乎沒有得到安慰——他仍然恐懼死亡，無法接受。關於他的宗教觀點，馮·諾伊曼據說曾說：「只要非信徒有可能遭受永恆詛咒，最終成為信徒就更合乎邏輯」，指的是帕斯卡的賭注。他向母親坦白：「大概必須有一個上帝。如果有，許多事情更容易解釋。」

馮·諾伊曼生前和死後都是羅馬天主教徒，於1957年2月8日在華特里德陸軍醫療中心去世，享年53歲，葬於普林斯頓公墓。

學術成就

數學

集合論

参见：馮·諾伊曼-伯內斯-哥德爾集合論

導致NBG集合論的方法歷史

在20世紀初，將數學建立在樸素集合論上的努力因羅素悖論（關於所有不屬於自身的集合的集合）而受挫。集合論充分公理化的問題在大約二十年後由恩斯特·策梅洛和亞伯拉罕·弗蘭克爾隱含地解決。策梅洛-弗蘭克爾集合論提供了一系列原則，允許建構數學日常實踐中使用的集合，但沒有明確排除存在屬於自身的集合的可能性。在他1925年的博士論文中，馮·諾伊曼展示了兩種排除此類集合的技術——基礎公理和類的概念。

基礎公理提出每個集合都可以按照策梅洛-弗蘭克爾原則以有序的步驟序列從下往上建構。如果一個集合屬於另一個集合，那麼第一個必須在序列中位於第二個之前。這排除了集合屬於自身的可能性。為了證明將這個新公理添加到其他公理不會產生矛盾，馮·諾伊曼引入了內模型方法，這成為集合論中必不可少的證明工具。

解決集合屬於自身問題的第二種方法以類的概念為基礎，將集合定義為屬於其他類的類，而真類則定義為不屬於其他類的類。在策梅洛-弗蘭克爾方法中，公理阻止建構所有不屬於自身的集合的集合。相比之下，在馮·諾伊曼的方法中，所有不屬於自身的集合的類可以被建構，但它是一個真類，不是集合。

總體而言，馮·諾伊曼在集合論方面的主要成就是「集合論的公理化以及（與此相關的）優雅的序數和基數理論，以及超限歸納定義原則的第一個嚴格表述」。

馮·諾伊曼悖論

主条目：馮·諾伊曼悖論

在費利克斯·豪斯多夫的豪斯多夫悖論（1914）基礎上，斯特凡·巴拿赫和阿爾弗雷德·塔斯基在1924年展示了如何將三維球細分為不交集合，然後平移和旋轉這些集合以形成同一球的兩個相同副本；這就是巴拿赫-塔斯基悖論。他們還證明了二維圓盤沒有這樣的悖論分解。但在1929年，馮·諾伊曼將圓盤細分為有限多塊並將它們重新排列成兩個圓盤，使用保面積的仿射變換而不是平移和旋轉。結果依賴於找到仿射變換的自由群，這是馮·諾伊曼後來在測度論工作中擴展的重要技術。

證明論

参见：希爾伯特計劃

隨著馮·諾伊曼對集合的貢獻，集合論的公理系統避免了早期系統的矛盾，並成為數學的基礎，儘管缺乏其一致性的證明。下一個問題是它是否為其中可以提出的所有數學問題提供了明確的答案，或者是否可以通過添加更強的公理來改進，以證明更廣泛的定理類。

到1927年，馮·諾伊曼參與了哥廷根關於初等算術是否遵循皮亞諾公理的討論。在威廉·阿克曼的工作基礎上，他開始嘗試（使用希爾伯特學派的有限方法）證明一階算術的一致性。他成功地證明了自然數算術的一個片段的一致性（通過對歸納的限制）。他繼續尋找使用證明論方法對經典數學一致性更一般的證明。

對其是否具有決定性的一個強烈否定答案在1930年9月的第二屆精確科學認識論會議上出現，庫爾特·哥德爾在會上宣布了他的第一不完備定理：通常的公理系統是不完備的，即它們不能證明其語言中可表達的每一個真理。此外，這些系統的每一個一致擴展必然仍然不完備。在會議上，馮·諾伊曼向哥德爾建議他應該嘗試將他的結果轉化為關於整數的不可判定命題。

不到一個月後，馮·諾伊曼向哥德爾傳達了他的定理的一個有趣推論：通常的公理系統無法證明自身的一致性。哥德爾回答說他已經發現了這個推論，現在稱為他的第二不完備定理，並且他會寄送包含這兩個結果的文章預印本，但從未出現。馮·諾伊曼在下一封信中承認了哥德爾的優先權。然而，馮·諾伊曼的證明方法與哥德爾不同，他也認為第二不完備定理對希爾伯特計劃的打擊比哥德爾認為的要大得多。隨著這一發現徹底改變了他對數學嚴謹性的看法，馮·諾伊曼停止了數學基礎和元數學的研究，轉而將時間花在與應用相關的問題上。

遍歷理論

在1932年發表的一系列論文中，馮·諾伊曼對遍歷理論做出了基礎性貢獻，遍歷理論是數學的一個分支，涉及具有不變測度的動力系統的狀態。關於1932年遍歷理論的論文，保羅·哈爾莫斯寫道，即使「馮·諾伊曼從未做過任何其他事情，這些論文也足以保證他在數學上的不朽」。那時馮·諾伊曼已經寫了他的算子理論文章，這項工作的應用對他的均值遍歷定理至關重要。

該定理是關於任意單參數么正群 ${\mathit {t}}\to {\mathit {V_{t}}}$，並指出對於希爾伯特空間中的每個向量 $\phi$，${\textstyle \lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}V_{t}(\phi )\,dt}$ 在由希爾伯特範數定義的度量意義下存在，並且是一個向量 $\psi$，使得對於所有 $t$ 都有 $V_{t}(\psi )=\psi$。這在第一篇論文中得到了證明。在第二篇論文中，馮·諾伊曼論證他在這裡的結果足以應用於與玻爾茲曼遍歷假設相關的物理應用。他還指出遍歷性尚未實現，並將其隔離出來供未來研究。

同年晚些時候，他發表了另一篇有影響力的論文，開始了遍歷性的系統研究。他給出並證明了分解定理，表明實線的遍歷保測作用是建構所有保測作用的基本構件。還給出並證明了其他幾個關鍵定理。這篇論文和與保羅·哈爾莫斯合作的另一篇論文的結果在數學的其他領域有重要應用。

測度論

参见：提升理論

在測度論中，n維歐幾里得空間 Rⁿ 的「測度問題」可以表述為：「是否存在一個正、歸一化、不變且可加的集合函數，定義在 Rⁿ 的所有子集類上？」費利克斯·豪斯多夫和斯特凡·巴拿赫的工作表明，測度問題在 n = 1 或 n = 2 時有正解，在所有其他情況下為負解（因為巴拿赫-塔斯基悖論）。馮·諾伊曼的工作論證「問題本質上是群論性質的」：測度的存在可以通過查看給定空間的變換群的性質來確定。維度至多為二的空間的正解和高維空間的負解來自於歐幾里得群在維度至多為二時是可解群，而在更高維度時不是可解群的事實。「因此，根據馮·諾伊曼的說法，是群的變化產生了差異，而不是空間的變化。」大約在1942年，他告訴多蘿西·馬哈拉姆如何證明每個完備σ-有限測度空間都有乘法提升；他沒有發表這個證明，她後來提出了新的證明。

在馮·諾伊曼的許多論文中，他使用的論證方法被認為比結果更重要。在預期他後來對算子代數中維度理論的研究時，馮·諾伊曼使用了有限分解等價的結果，並用函數重新表述了測度問題。馮·諾伊曼對測度論的主要貢獻是一篇論文的結果，該論文是為了回答哈爾關於是否存在實數線上所有有界函數的代數的問題，使得它們構成「幾乎處處相等的可測有界函數類的完備代表系」。他正面證明了這一點，並在後來與斯通的論文中討論了這個問題的各種推廣和代數方面。他還用新方法證明了各種一般類型測度的分解的存在性。馮·諾伊曼還通過使用函數的均值給出了哈爾測度唯一性的新證明，儘管這種方法只適用於緊群。他不得不創造全新的技術來將此應用於局部緊群。他還為拉東-尼科迪姆定理給出了一個新的、巧妙的證明。他在普林斯頓高等研究院的測度論講義是當時美國該主題知識的重要來源，後來被出版。

拓撲群

利用他先前在測度論方面的工作，馮·諾伊曼對拓撲群理論做出了若干貢獻，首先是關於群上幾乎週期函數的論文，他將玻爾的幾乎週期函數理論擴展到任意群。他與博赫納合作發表了另一篇論文，將幾乎週期性理論改進為包括取值為線性空間元素而非數字的函數。1938年，他因這些論文在分析方面的工作而獲得博赫爾紀念獎。

在1933年的一篇論文中，他使用新發現的哈爾測度解決了緊群情況下的希爾伯特第五問題。這背後的基本思想在幾年前就被發現了，當時馮·諾伊曼發表了一篇關於線性變換群的解析性質的論文，發現一般線性群的閉子群是李群。這後來被嘉當以閉子群定理的形式推廣到任意李群。

泛函分析

主条目：算子理論

参见：譜定理

馮·諾伊曼是第一個公理化定義抽象希爾伯特空間的人。他將其定義為具有埃爾米特純量積的複向量空間，相應的範數既可分又完備。在同一批論文中，他還證明了柯西-施瓦茨不等式的一般形式，此前僅在特定例子中為人所知。他在1929年至1932年間的三篇開創性論文中繼續發展希爾伯特空間中算子的譜理論。這項工作最終形成了他的《量子力學的數學基礎》，該書與斯通和巴拿赫在同年的另外兩本書一起，是希爾伯特空間理論的最早專著。其他人先前的工作表明，弱拓撲理論不能通過使用序列來獲得。馮·諾伊曼是第一個概述如何克服這些困難的計劃的人，這導致他首次定義了局部凸空間和拓撲向量空間。此外，他當時定義的其他幾個拓撲性質（他是最早將豪斯多夫的新拓撲思想從歐幾里得空間應用於希爾伯特空間的數學家之一），如有界性和完全有界性，至今仍在使用。二十年來，馮·諾伊曼被認為是這一領域的「無可爭議的大師」。這些發展主要是由量子力學的需求推動的，馮·諾伊曼意識到需要將埃爾米特算子的譜理論從有界情況擴展到無界情況。這些論文中的其他主要成就包括完整闡明正規算子的譜理論、首次抽象呈現正算子的跡，推廣里斯當時對希爾伯特譜定理的表述，以及發現希爾伯特空間中的埃爾米特算子，區別於自伴算子，這使他能夠描述所有擴展給定埃爾米特算子的埃爾米特算子。他寫了一篇論文，詳細說明了使用無窮矩陣（當時在譜理論中常見）作為埃爾米特算子的表示是不充分的。他在算子理論方面的工作導致了他在純數學中最深刻的發明，即馮·諾伊曼代數的研究以及一般算子代數的研究。

他後來在算子環方面的工作使他重新審視了譜理論的工作，並通過使用希爾伯特空間的直積分提供了一種處理幾何內容的新方法。就像他在測度論方面的工作一樣，他證明了幾個他沒有時間發表的定理。他告訴納赫曼·阿龍扎因和K. T. Smith，在1930年代初，他在研究不變子空間問題時證明了希爾伯特空間中完全連續算子的真不變子空間的存在性。

他與I. J. 舍恩伯格一起撰寫了幾篇文章，研究實數線上的平移不變希爾伯特度量，並對其進行了完整分類。他們的動機在於與將度量空間嵌入希爾伯特空間相關的各種問題。

他與帕斯夸爾·約丹一起寫了一篇簡短論文，首次通過平行四邊形恆等式從內積推導出給定的範數。他的跡不等式是矩陣理論中用於矩陣近似問題的關鍵結果。他還在第一篇討論單位不變範數和對稱規範函數（現稱為對稱絕對範數）理論的主要論文中首次提出了預範數的對偶是範數的想法。這篇論文自然地引向對稱算子理想的研究，是現代對稱算子空間研究的起點。

後來他與羅伯特·沙滕一起開創了希爾伯特空間上核算子的研究，巴拿赫空間的張量積，引入並研究了跡類算子，它們的理想及其與緊算子的對偶性，以及與有界算子的預對偶性。將這一主題推廣到巴拿赫空間上的核算子的研究是亞歷山大·格羅滕迪克最早的成就之一。此前在1937年，馮·諾伊曼在這個領域發表了幾項結果，例如給出了 ${\textit {l}}\,_{2}^{n}\otimes {\textit {l}}\,_{2}^{n}$ 上不同交叉範數的單參數尺度，並證明了現在稱為Schatten–von Neumann理想的幾個其他結果。

算子代數

主条目：馮·諾伊曼代數

参见：直積分

馮·諾伊曼通過馮·諾伊曼代數（最初稱為W*-代數）創立了算子環的研究。雖然他對算子環的原始想法在1930年就已經存在，但直到幾年後遇到F. J. 默里才開始深入研究。馮·諾伊曼代數是希爾伯特空間上有界算子的*-代數，在弱算子拓撲中封閉並包含恆等算子。馮·諾伊曼雙交換子定理表明解析定義等價於純代數定義，即等於雙交換子。在闡明交換代數情況的研究之後，馮·諾伊曼於1936年開始與默里部分合作研究非交換情況，即馮·諾伊曼代數的因子分類的一般研究。他在1936年至1940年間發展該理論的六篇主要論文「位列二十世紀分析的傑作之中」；它們收集了許多基礎結果，並開創了算子代數理論中數學家此後數十年研究的幾個計劃。一個例子是因子的分類。此外，1938年他證明了可分希爾伯特空間上的每個馮·諾伊曼代數都是因子的直積分；他直到1949年才找到時間發表這個結果。馮·諾伊曼代數與非交換積分理論密切相關，馮·諾伊曼在他的工作中暗示了這一點，但沒有明確寫出。另一個關於極分解的重要結果發表於1932年。

格理論

主条目：連續幾何

参见：補格 § 正交模格

在1935年至1937年間，馮·諾伊曼研究了格理論，即偏序集的理論，其中每兩個元素都有一個最大下界和一個最小上界。正如加勒特·伯克霍夫所寫：「約翰·馮·諾伊曼的傑出頭腦像流星一樣劃過格理論」。馮·諾伊曼將傳統射影幾何與現代代數（線性代數、環論、格理論）結合起來。許多以前的幾何結然後可以在環上的一般模的情況下解釋。他的工作為射影幾何的一些現代工作奠定了基礎。

他最大的貢獻是創立了連續幾何領域。它followed他在算子環方面的開創性工作。在數學中，連續幾何是複射影幾何的替代，其中子空間的維度不是在離散集合 $0,1,...,{\mathit {n}}$ 中，而是可以是單位區間 $[0,1]$ 的元素。早些時候，門格爾和伯克霍夫已經根據複射影幾何的線性子空間格的性質對其進行了公理化。馮·諾伊曼在算子環工作的基礎上，弱化了這些公理以描述更廣泛的格類，即連續幾何。

雖然射影幾何子空間的維度是離散集合（非負整數），但連續幾何元素的維度可以連續地跨越單位區間 $[0,1]$。馮·諾伊曼的動機是發現具有連續維度範圍的維度函數的馮·諾伊曼代數，第一個非射影空間的連續幾何例子是投影的超有限II型因子。

在更純粹的格理論工作中，他解決了用格理論的抽象語言表徵 ${\mathit {CG(F)}}$ 類（在任意除環 ${\mathit {F}}\,$ 上的連續維射影幾何）的困難問題。馮·諾伊曼在完備補模拓撲格（在內積空間的子空間格中出現的性質）中提供了維度的抽象探索：

維度由以下兩個性質決定，直到正線性變換。它由透視映射（「透視性」）保持，並由包含關係排序。證明中最深奧的部分涉及透視性與「分解射影性」的等價性——其推論是透視性的傳遞性。

對於任何整數 $n>3$，每個 ${\mathit {n}}$ 維抽象射影幾何都同構於（唯一）對應除環 $F$ 上的 ${\mathit {n}}$ 維向量空間 $V_{n}(F)$ 的子空間格。這被稱為維布倫-楊定理。馮·諾伊曼將射影幾何中這一基本結果擴展到連續維情況。這個座標化定理刺激了抽象射影幾何和格理論的大量工作，其中許多繼續使用馮·諾伊曼的技術。伯克霍夫這樣描述這個定理：

任何具有 n ≥ 4 個兩兩透視元素的「基」的補模格 L，同構於合適的正則環 R 的所有主右理想的格 ℛ(R)。這個結論是140頁輝煌而敏銳的代數的頂峰，涉及全新的公理。任何希望對馮·諾伊曼思想的鋒利邊緣獲得難忘印象的人，只需嘗試自己追隨這條精確推理的鏈條——意識到其中常有五頁是在早餐前寫下的，坐在客廳寫字檯前穿著浴袍。

這項工作需要創建正則環。馮·諾伊曼正則環是一個環，對於每個 $a$，存在元素 $x$ 使得 $axa=a$。這些環來自並與他在馮·諾伊曼代數方面的工作有關，也與AW*-代數和各種C*-代數有關。

在上述定理的創建和證明過程中證明了許多較小的技術結果，特別是關於分配性（如無限分配性），馮·諾伊曼根據需要發展它們。他還發展了格中賦值的理論，並參與發展了度量格的一般理論。

伯克霍夫在他關於馮·諾伊曼的遺作中指出，這些結果大多是在兩年的密集工作期間發展出來的，雖然他的興趣在1937年之後繼續在格理論中，但它們變得邊緣化，主要出現在給其他數學家的信件中。1940年的最後一項貢獻是他與伯克霍夫在普林斯頓高等研究院就該主題進行的聯合研討會，他在其中發展了σ-完備格序環的理論。他從未將這項工作寫成論文發表。

數理統計

馮·諾伊曼對數理統計做出了基礎性貢獻。1941年，他推導了獨立同正態分布變量的均方連續差與樣本方差之比的精確分布。這個比率被應用於回歸模型的殘差，通常稱為德賓-沃森統計量，用於檢驗誤差序列獨立的虛無假設，對立假設是誤差遵循平穩一階自迴歸。

隨後，丹尼斯·薩爾根和阿洛克·巴爾加瓦擴展了這些結果，用於檢驗回歸模型的誤差是否遵循高斯隨機漫步（即具有單位根），對立假設是它們是平穩一階自迴歸。

其他數學貢獻

在他早期的歲月裡，馮·諾伊曼發表了幾篇與集合論實分析 and 數論相關的論文。在1925年的一篇論文中，他證明了對於 $[0,1]$ 中的任何稠密點序列，都存在這些點的重排是均勻分布的。1926年他唯一的發表是關於普呂弗的理想代數數理論，他找到了一種新的構造方法，從而將普呂弗的理論擴展到所有代數數的體，並闡明了它們與p進數的關係。 1928年，他發表了兩篇繼續這些主題的論文。第一篇涉及將區間劃分為可數多個全等子集。它解決了胡戈·斯坦豪斯的一個問題，即區間是否為 $\aleph _{0}$-可除的。馮·諾伊曼證明了所有區間，半開、開或閉的，確實是 $\aleph _{0}$-可除的（即這些區間可以分解為 $\aleph _{0}$ 個通過平移全等的子集）。他的下一篇論文給出了一個不使用選擇公理的構造性證明，證明存在 $2^{\aleph _{0}}$ 個代數獨立的實數。他證明了 $A_{r}=\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }2^{2^{[nr]}}\!{\big /}\,2^{2^{n^{2}}}$ 對於 $r>0$ 是代數獨立的。因此，存在一個大小為連續統的完美代數獨立實數集。他早期職業生涯的其他較小結果包括變分法中最小化函數梯度的最大值原理的證明，以及對赫爾曼·閔可夫斯基在幾何數論中線性形式定理的小幅簡化。 後來在他的職業生涯中，他與帕斯夸爾·約丹和尤金·維格納一起寫了一篇基礎性論文，分類了所有有限維形式實約丹代數，並在試圖為量子理論尋找更好的數學形式時發現了阿爾伯特代數。1936年，他試圖進一步推進用約丹代數公理取代他先前希爾伯特空間計劃公理的計劃，在一篇研究無限維情況的論文中；他計劃至少再寫一篇關於這個主題的論文，但從未這樣做。儘管如此，這些公理為歐文·西格爾開始的代數量子力學的進一步研究奠定了基礎。

物理學

量子力學

参见：量子互信息、量子測量和波函數坍縮

馮·諾伊曼是第一個為量子力學建立嚴格數學框架的人，稱為狄拉克-馮·諾伊曼公理，見於他1932年有影響力的著作《量子力學的數學基礎》。在完成集合論的公理化之後，他開始面對量子力學的公理化。他在1926年意識到量子系統的狀態可以用（複）希爾伯特空間中的一個點來表示，一般來說，即使對於單個粒子，這個空間也可以是無限維的。在量子力學的這種形式中，位置或動量等可觀測量表示為作用在與量子系統相關的希爾伯特空間上的線性算子。該書首次以數理分析清晰地提出了波函數的兩類演化過程：

• 瞬時的、非連續的波函數坍縮過程
• 波函數的連續演化過程，遵循薛定谔方程式

量子力學的物理學因此被歸結為希爾伯特空間及其上線性算子的數學。例如，不確定性原理，根據該原理，確定粒子的位置會阻止確定其動量，反之亦然，被翻譯為兩個相應算子的非交換性。這種新的數學表述包括了海森堡和薛丁格表述作為特殊情況。

馮·諾伊曼的抽象處理使他能夠面對決定論與非決定論的基礎問題，並在書中提出了一個證明，表明量子力學的統計結果不可能是經典統計力學中潛在的一組確定的「隱變量」的平均值。1935年，格雷特·赫爾曼發表了一篇論文，論證該證明包含概念錯誤，因此無效。赫爾曼的工作在約翰·S·貝爾於1966年提出基本相同的論證之前基本上被忽視了。2010年，傑弗里·布布論證貝爾誤解了馮·諾伊曼的證明，並指出該證明雖然對所有隱變量理論無效，但確實排除了一個明確定義且重要的子集。布布還暗示馮·諾伊曼意識到這一局限性，並沒有聲稱他的證明完全排除了隱變量理論。布布論證的有效性反過來又受到爭議。1957年的格利森定理提供了一個沿著馮·諾伊曼思路反對隱變量的論證，但建立在被認為更有動機和更有物理意義的假設之上。

馮·諾伊曼的證明開創了一條研究路線，最終通過貝爾定理和1982年阿蘭·阿斯佩的實驗，證明了量子物理學要么需要一個與經典物理學實質不同的實在概念，要么必須包括非局域性，明顯違反狹義相對論。

在《量子力學的數學基礎》的一章中，馮·諾伊曼深入分析了所謂的測量問題。他得出結論，整個物理宇宙都可以服從普遍的波函數。由於需要「計算之外」的東西來坍縮波函數，馮·諾伊曼得出結論，坍縮是由實驗者的意識引起的。他論證量子力學的數學允許將波函數的坍縮放置在從測量裝置到人類觀察者「主觀意識」的因果鏈中的任何位置。換句話說，雖然觀察者和被觀察者之間的界線可以畫在不同的地方，但只有當某處存在觀察者時，理論才有意義。儘管意識導致坍縮的想法被尤金·維格納接受，但這種解釋從未在大多數物理學家中獲得接受。

儘管量子力學的理論不斷發展，但大多數方法中量子力學問題數學形式的基本框架可以追溯到馮·諾伊曼首次使用的數學形式和技術。關於理論詮釋及其擴展的討論，現在大多是在關於數學基礎的共同假設的基礎上進行的。

將馮·諾伊曼在量子力學方面的工作視為希爾伯特第六問題實現的一部分，數學物理學家亞瑟·懷特曼在1974年說，他的量子理論公理化也許是迄今為止物理理論最重要的公理化。隨著他1932年的書，量子力學成為一個成熟的理論，因為它有了精確的數學形式，允許對概念問題給出明確的答案。儘管如此，馮·諾伊曼晚年覺得他在這方面沒有成功，因為儘管他發展了所有的數學，但他沒有為量子理論作為一個整體找到令人滿意的數學框架。

馮·諾伊曼熵

主条目：馮·諾伊曼熵

馮紐曼熵在[[量子資訊]量子資訊理論]的框架中以不同形式（條件熵、相對熵等）被廣泛使用。糾纏度量基於與馮·諾伊曼熵直接相關的某種量。給定具有密度矩陣 $\rho$ 的量子力學系統的統計系綜，它由 $S(\rho )=-\operatorname {Tr} (\rho \ln \rho ).\,$ 給出。經典信息理論中的許多相同的熵度量也可以推廣到量子情況，例如Holevo熵和條件量子熵。量子信息理論主要關注馮·諾伊曼熵的解釋和用途，這是前者發展的基石；夏農熵適用於經典信息理論。

密度矩陣

主条目：密度矩陣

密度算子和矩陣的形式由馮·諾伊曼於1927年引入，並由列夫·朗道和費利克斯·布洛赫分別於1927年和1946年獨立但不太系統地引入。密度矩陣允許表示量子態的概率混合（混合態），與只能表示純態的波函數形成對比。

馮·諾伊曼測量方案

馮·諾伊曼測量方案是量子退相干理論的先驅，通過將測量裝置也視為量子對象來投影地表示測量。馮·諾伊曼引入的「投影測量」方案導致了量子退相干理論的發展。

量子邏輯

主条目：量子邏輯

馮·諾伊曼在他1932年的著作《量子力學的數學基礎》中首次提出了量子邏輯，他指出希爾伯特空間上的投影可以被視為關於物理可觀測量的命題。量子邏輯領域隨後在1936年由馮·諾伊曼和加勒特·伯克霍夫的一篇論文中開創，這是首次引入量子邏輯，其中馮·諾伊曼和伯克霍夫首先證明了量子力學需要一個與所有經典邏輯實質不同的命題演算，並嚴格隔離了量子邏輯的新代數結構。為量子邏輯創建命題演算的概念首先在馮·諾伊曼1932年著作的一個簡短章節中概述，但在1936年，新命題演算的必要性通過幾個證明得到了證明。例如，光子不能通過兩個連續的垂直偏振濾光片（例如水平和垂直），因此，更有理由，如果在這兩個濾光片之前或之後添加第三個對角偏振的濾光片，它也不能通過，但如果第三個濾光片添加在另外兩個之間，光子確實會通過。這個實驗事實可以翻譯成邏輯為合取的非交換性 $(A\land B)\neq (B\land A)$。還證明了經典邏輯的分配律，$P\lor (Q\land R)={}$$(P\lor Q)\land (P\lor R)$ 和 $P\land (Q\lor R)={}$$(P\land Q)\lor (P\land R)$，對量子理論無效。

原因是量子析取與經典析取不同，即使兩個析取項都是假的，它也可以是真的，這反過來歸因於量子力學中經常出現這樣的情況：一對替代項在語義上是確定的，而它的每個成員必然是未確定的。因此，經典邏輯的分配律必須用更弱的條件代替。命題不再形成分配格，而是形成與該系統相關的希爾伯特空間的子空間格同構的正交模格。

儘管如此，他從未對他在量子邏輯方面的工作感到滿意。他打算將其作為形式邏輯和概率論的聯合綜合，當他試圖為1945年在華盛頓哲學學會所作的亨利·約瑟夫講座寫一篇論文時，他發現自己無法做到，特別是當時他正忙於戰時工作。在1954年國際數學家大會上的演講中，他將這個問題列為未來數學家可以研究的未解決問題之一。

流體動力學

在二戰期間，馮·諾伊曼在流體動力學領域做出了基礎性貢獻，包括現在以三位獨立提出該理論的科學家命名的泰勒-馮·諾伊曼-謝多夫爆炸波的經典流動解，以及炸藥的ZND爆轟模型的共同發現（由雅科夫·鮑里索維奇·澤爾多維奇和維爾納·德林獨立發現）。在1930年代，馮·諾伊曼成為成形裝藥數學的權威。

後來，馮·諾伊曼與羅伯特·D·里赫特邁爾一起開發了一種定義人工黏度的算法，改進了對衝擊波的理解。當計算機解決流體動力學或空氣動力學問題時，它們在尖銳不連續區域（衝擊波）放置了太多的計算網格點。人工黏度的數學平滑了衝擊過渡，而不犧牲基本物理學。

馮·諾伊曼很快將計算機建模應用於該領域，為他的彈道研究開發軟件。在第二次世界大戰期間，他聯繫了美國陸軍彈道研究實驗室主任R. H. Kent，提供了一個計算一維100個分子模型以模擬衝擊波的計算機程序。馮·諾伊曼向包括他的朋友西奧多·馮·卡門在內的聽眾介紹了他的程序。馮·諾伊曼講完後，馮·卡門說：「當然你知道拉格朗日也用數位模型來模擬連續介質力學。」馮·諾伊曼當時不知道拉格朗日的《分析力學》。

其他物理貢獻

馮·諾伊曼在布達佩斯第五區Báthory u. 26號出生地牆上的紀念牌

雖然他在物理學方面不如在數學方面多產，但他仍然做出了其他幾項值得注意的貢獻。他與蘇布拉馬尼揚·錢德拉塞卡關於由隨機分布恆星產生的波動重力場統計的開創性論文被認為是一部傑作。在這篇論文中，他們發展了兩體弛豫理論並使用霍爾茨馬克分布來建模恆星系統的動力學。他寫了幾篇關於恆星結構主題的其他未發表手稿，其中一些被收錄在錢德拉塞卡的其他著作中。在早期由奧斯瓦爾德·維布倫領導的工作中，馮·諾伊曼幫助發展了涉及旋量的基本思想，這些思想後來導致了羅傑·彭羅斯的扭量理論。其中大部分是在1930年代在IAS進行的研討會中完成的。從這項工作中，他與A. H. 陶布和維布倫一起寫了一篇論文，將狄拉克方程擴展到射影相對論，關鍵重點是保持不變性相對於坐標、自旋和規範變換，作為1930年代潛在量子引力理論早期研究的一部分。在同一時期，他向同事提出了幾項處理新創建的量子場論問題和量子化時空問題的建議；然而，他和他的同事都認為這些想法沒有成果，沒有繼續推進。儘管如此，他至少保持了一些興趣，1940年寫了一篇關於德西特空間中狄拉克方程的手稿。

計算機科學

馮·諾伊曼是計算的創始人物，對計算硬件設計、理論計算機科學、科學計算和計算機科學哲學做出了重大貢獻。

硬件

AVIDAC計算機部分基於馮·諾伊曼開發的IAS機器架構。

馮·諾伊曼為陸軍的彈道研究實驗室提供諮詢，最著名的是在ENIAC項目上，作為其科學顧問委員會的成員。雖然單一記憶體、存儲程序的架構通常被稱為馮·諾伊曼架構，但該架構基於J·普雷斯伯·埃克特和約翰·莫奇利的工作，他們是ENIAC及其後繼者EDVAC的發明者。 在為賓夕法尼亞大學的EDVAC項目提供諮詢時，馮·諾伊曼寫了一份不完整的《EDVAC報告書的第一份草案》。這篇論文過早分發，使埃克特和莫奇利的專利主張無效，描述了一種計算機，將數據和程序存儲在同一地址空間中，不像最早的計算機將程序分別存儲在紙帶或插線板上。這種架構成為大多數現代數位計算機設計的基礎。1945年6月，馮·諾伊曼與戈德斯坦、勃克斯等人聯名發表了一篇長達101頁紙的報告，即計算機史上著名的「101頁報告」，是現代電腦科學發展里程碑式的文獻。明確規定用二進制替代十進制運算，並將計算機分成5大組件，這一卓越的思想為電子計算機的逻辑結構設計奠定了基礎，已成為計算機設計的基本原則。1951年，EDVAC計算機宣告完成。

接下來，馮·諾伊曼在新澤西州普林斯頓的普林斯頓高等研究院設計了IAS機器。他安排了其融資，組件在附近的RCA研究實驗室設計和建造。馮·諾伊曼建議IBM 701（綽號國防計算機）包含一個磁鼓。它是IAS機器的更快版本，並成為商業上成功的IBM 704的基礎。

算法

馮·諾伊曼1947年發表的《電子計算儀器問題的規劃與編碼》中的流程圖

馮·諾伊曼是1945年合併排序算法的發明者，其中數組的前半部分和後半部分各自遞歸排序，然後合併。

作為馮·諾伊曼氫彈工作的一部分，他和斯坦尼斯瓦夫·烏拉姆開發了流體動力學計算的模擬。他還為蒙特卡洛方法的發展做出了貢獻，該方法使用隨機數來近似複雜問題的解。

馮·諾伊曼用偏置硬幣模擬公平硬幣的算法用於一些硬件隨機數生成器的「軟件白化」階段。由於獲得「真正」的隨機數不切實際，馮·諾伊曼開發了一種偽隨機性形式，使用平方取中法。他將這種粗略方法辯護為比當時任何其他方法都更快，寫道：「任何考慮用算術方法產生隨機數字的人，當然，都處於罪惡狀態。」他還指出，當這種方法出錯時，它會明顯地出錯，不像其他方法可能會微妙地不正確。

隨機計算由馮·諾伊曼於1953年引入，直到1960年代計算技術的進步才能實現。大約在1950年，他也是最早談論計算的時間複雜度的人之一，這最終演變為計算複雜性理論領域。

細胞自動機、DNA和通用構造器

参见：馮·諾伊曼細胞自動機、馮·諾伊曼通用構造器、馮·諾伊曼鄰域和馮·諾伊曼探測器

馮·諾伊曼自我複製通用構造器的首次實現。顯示了三代機器：第二代幾乎完成了第三代的構造。向右延伸的線是遺傳指令的紙帶，與機器主體一起被複製。

馮·諾伊曼細胞自動機中的一個簡單配置。一個二進制信號反覆繞著藍色導線環路傳遞，使用激發和靜息的普通傳輸狀態。一個匯合單元將信號複製到由特殊傳輸狀態組成的一段紅色導線上。信號沿著這條導線傳遞並在末端構造一個新單元。這個特定的信號（1011）編碼一個向東的特殊傳輸狀態，因此每次將紅色導線延伸一個單元。在建構過程中，新單元經過幾個敏化狀態，由二進制序列引導。

馮·諾伊曼對自我複製結構的數學分析早於DNA結構的發現。烏拉姆和馮·諾伊曼通常也被認為從1940年代開始創建了細胞自動機領域，作為生物系統的簡化數學模型。

在1948年和1949年的講座中，馮·諾伊曼提出了一個運動學自我複製自動機。到1952年，他更抽象地處理這個問題。他設計了一個精細的二維細胞自動機，可以自動複製其初始細胞配置。基於馮·諾伊曼細胞自動機的馮·諾伊曼通用構造器在他遺作《自我複製自動機理論》中得到了充實。 馮·諾伊曼鄰域，其中二維網格中的每個單元將四個正交相鄰的網格單元作為鄰居，繼續被用於其他細胞自動機。

```wiki

科學計算和數值分析

被認為可能是「有史以來最有影響力的科學計算研究者」，馮·諾伊曼在技術和行政方面都對該領域做出了若干貢獻。他開發了馮·諾伊曼穩定性分析程序，至今仍常用於避免線性偏微分方程數值方法中誤差的累積。他與赫爾曼·戈德斯坦在1947年的論文是第一個描述後向誤差分析的論文，儘管是隱含的。他也是最早撰寫關於雅可比方法的人之一。在洛斯阿拉莫斯，他寫了幾份關於數值求解氣體動力學問題的機密報告。然而，他對這些非線性問題的解析方法缺乏進展感到沮喪。因此，他轉向計算方法。在他的影響下，洛斯阿拉莫斯在1950年代和1960年代初成為科學計算的領導者。

從這項工作中，馮·諾伊曼意識到計算不僅僅是一種數值暴力求解問題的工具，還可以為解析求解問題提供洞見，並且計算機對大量科學和工程問題都有用，其中最顯著的是非線性問題。1945年6月，在首屆加拿大數學大會上，他首次就如何數值求解問題的一般想法發表演講，特別是流體動力學問題。他還描述了風洞實際上就是模擬計算機，以及數位計算機將如何取代它們並帶來流體動力學的新時代。加勒特·伯克霍夫將其描述為「一次難忘的推銷」。他與戈德斯坦將這次演講擴展為手稿《論大規模計算機的原理》，並用它來推動對科學計算的支持。他的論文還發展了矩陣求逆、隨機矩陣和自動鬆弛方法求解橢圓邊值問題的概念。

天氣系統和全球暖化

参见：數值天氣預報史和氣候變化科學史 § 日益增長的關注，1950年代-1960年代

作為對計算機可能應用的研究的一部分，馮·諾伊曼對天氣預報產生了興趣，注意到該領域的問題與他在曼哈頓計劃期間研究的問題之間的相似性。1946年，馮·諾伊曼在普林斯頓高等研究院成立了「氣象項目」，為他的項目爭取到了氣象局、美國空軍和美國海軍氣象部門的資助。他與當時被認為是領先理論氣象學家的卡爾-古斯塔夫·羅斯比一起，召集了二十名氣象學家研究該領域的各種問題。然而，由於他戰後的其他工作，他無法投入足夠的時間來妥善領導該項目，進展甚微。

當年輕的朱爾·格雷戈里·查尼從羅斯比手中接過項目的共同領導權時，情況發生了變化。到1950年，馮·諾伊曼和查尼編寫了世界上第一個氣候建模軟件，並用它在他安排使用的ENIAC計算機上進行了世界上第一次數值天氣預報；馮·諾伊曼和他的團隊將結果發表為《正壓渦度方程的數值積分》。他們共同在將海洋-大氣能量和水分交換整合到氣候研究中發揮了主導作用。儘管原始，ENIAC預報的消息迅速傳遍世界，其他地方也啟動了許多平行項目。

1955年，馮·諾伊曼、查尼及其合作者說服他們的資助者在馬里蘭州蘇特蘭開設了聯合數值天氣預報單位（JNWPU），開始例行實時天氣預報。接下來，馮·諾伊曼提出了一個氣候建模研究計劃：

方法是先嘗試短期預報，然後是那些可以任意長時間自我延續的環流特性的長期預報，最後才嘗試中長期預報，這些預報太長而無法用簡單的流體動力學理論處理，又太短而無法用均衡理論的一般原則處理。

諾曼·A·菲利普斯在1955年的正面結果引起了立即反應，馮·諾伊曼在普林斯頓組織了一次關於「數值積分技術應用於大氣環流問題」的會議。他再次戰略性地將該計劃組織為一個預測性計劃，以確保氣象局和軍方的持續支持，導致在JNWPU旁邊創建了大氣環流研究部門（現在的地球物理流體動力學實驗室）。他繼續在建模的技術問題和確保這些項目的持續資助方面開展工作。 在19世紀後期，斯萬特·阿倫尼烏斯提出人類活動可能通過向大氣中添加二氧化碳來導致全球暖化。1955年，馮·諾伊曼觀察到這可能已經開始：「工業燃燒煤和石油釋放到大氣中的二氧化碳——其中一半以上是在上一代期間——可能已經改變了大氣的組成，足以解釋世界普遍暖化約華氏一度。」他對天氣系統和氣象預報的研究使他提出通過在極地冰蓋上散布著色劑來增強太陽輻射的吸收（通過降低反照率）來操縱環境。然而，他敦促在任何大氣改造計劃中保持謹慎：

可以做什麼，當然不是應該做什麼的指標……事實上，評估全面冷卻或全面加熱的最終後果將是一件複雜的事情。變化會影響海平面，從而影響大陸沿海大陸棚的宜居性；海洋的蒸發，從而影響一般降水和冰川作用水平；等等……但幾乎沒有疑問，人們可以進行必要的分析來預測結果，以任何期望的規模進行干預，並最終取得相當奇妙的結果。

他還警告說，天氣和氣候控制可能有軍事用途，1956年告訴國會，它們可能構成比ICBM更大的風險。

技術奇點假說

参见：技術奇點

「現在正在發展並將主導未來幾十年的技術與傳統的、並且主要是暫時仍然有效的地理和政治單位和概念相衝突。這是一個成熟中的技術危機……最有希望的答案是，人類物種以前曾受到類似的考驗，它似乎有一種與生俱來的能力來度過難關，儘管會經歷各種麻煩。」

—馮·諾伊曼，1955年

在技術背景下首次使用奇點概念歸功於馮·諾伊曼，根據烏拉姆的說法，他討論了「技術進步和人類生活模式變化的不斷加速，這給人的印象是正在接近人類歷史上某個本質奇點，超過這個奇點，人類事務，如我們所知，就無法繼續。」這個概念後來在阿爾文·托夫勒1970年的著作《未來的衝擊》中得到了充實。

經濟學

賽局理論

馮·諾伊曼作為數學學科創立了賽局理論領域。他在1928年證明了他的極小極大定理。它確立了在具有完全信息的零和賽局中（即玩家在每個時刻都知道迄今為止發生的所有行動），存在一對策略，使雙方都能最小化其最大損失。這樣的策略稱為最優。馮·諾伊曼證明了它們的極小極大值相等（絕對值）且相反（符號）。他改進並擴展了極小極大定理以包括涉及不完全信息的賽局和超過兩個玩家的賽局，並在1944年與奧斯卡·摩根斯特恩合著的《賽局理論與經濟行為》中發表了這一結果。這部作品的公眾興趣如此之大，以至於《紐約時報》刊登了頭版報導。在這本書中，馮·諾伊曼宣稱經濟理論需要使用泛函分析，特別是凸集和拓撲不動點定理，而不是傳統的微分學，因為最大值算子不保持可微函數。

馮·諾伊曼的泛函分析技術——使用實向量空間的對偶配對來表示價格和數量，使用支撐和分離超平面及凸集，以及不動點理論——此後一直是數學經濟學的主要工具。

數理經濟學

馮·諾伊曼在幾篇有影響力的出版物中提高了經濟學的數學水平。對於他的擴張經濟模型，他使用布勞威爾不動點定理的推廣證明了均衡的存在性和唯一性。馮·諾伊曼的擴張經濟模型考慮了矩陣束 $A-\lambda B$，其中 A 和 B 是非負矩陣；馮·諾伊曼尋求概率向量 p 和 q 以及正數 $\lambda$，以求解互補方程 $p^{T}(A-\lambda B)q=0$ 以及兩個表達經濟效率的不等式系統。在這個模型中，（轉置的）概率向量 p 代表商品的價格，而概率向量 q 代表生產過程運行的「強度」。唯一解 $\lambda$ 代表增長因子，即1加上經濟的增長率；增長率等於利率。

馮·諾伊曼的結果被視為線性規劃的一個特例，他的模型僅使用非負矩陣。對他的擴張經濟模型的研究繼續引起數學經濟學家的興趣。這篇論文被幾位作者稱為數學經濟學中最偉大的論文，他們認識到它引入了不動點定理、線性不等式、互補鬆弛和鞍點對偶。在馮·諾伊曼增長模型會議的論文集中，保羅·薩繆爾森說許多數學家發展了對經濟學家有用的方法，但馮·諾伊曼是唯一對經濟理論本身做出重大貢獻的人。一般均衡工作和不動點定理方法論的持久重要性被1972年授予肯尼斯·阿羅、1983年授予熱拉爾·德布魯和1994年授予約翰·納什的諾貝爾獎所強調，納什在他的博士論文中使用不動點定理建立了非合作賽局和討價還價問題的均衡。阿羅和德布魯也使用了線性規劃，諾貝爾獎得主佳林·庫普曼斯、列昂尼德·坎托羅維奇、瓦西里·列昂季耶夫、保羅·薩繆爾森、羅伯特·多夫曼、羅伯特·索洛和列昂尼德·赫維奇也是如此。

馮·諾伊曼對這個主題的興趣始於他在1928年和1929年在柏林講課時。他在布達佩斯度過夏天，經濟學家尼古拉斯·卡爾多也是如此；卡爾多建議馮·諾伊曼閱讀數學經濟學家萊昂·瓦爾拉斯的書。馮·諾伊曼注意到瓦爾拉斯的一般均衡理論和瓦爾拉斯定律導致聯立線性方程組，可能產生利潤可以通過生產和銷售負數量的產品來最大化的荒謬結果。他將方程替換為不等式，引入了動態均衡等，最終完成了他的論文。

線性規劃

在他關於矩陣賽局和擴張經濟模型的結果基礎上，馮·諾伊曼在喬治·丹齊格在幾分鐘內描述了他的工作時發明了線性規劃中的對偶理論，一位不耐煩的馮·諾伊曼請他切入正題。丹齊格隨後目瞪口呆地聽著馮·諾伊曼提供了一個小時關於凸集、不動點理論和對偶的講座，猜想矩陣賽局和線性規劃之間的等價性。

後來，馮·諾伊曼提出了一種新的線性規劃方法，使用保羅·戈丹（1873）的齊次線性系統，後來由卡馬卡算法推廣。馮·諾伊曼的方法在單純形之間使用樞軸算法，樞軸決策由具有凸性約束的非負最小二乘法子問題確定（將零向量投影到活躍單純形的凸包上）。馮·諾伊曼的算法是線性規劃的第一個內點法。

國防工作

馮·諾伊曼戰時洛斯阿拉莫斯身份證照片

曼哈頓計劃

從1930年代末開始，馮·諾伊曼發展了爆炸方面的專業知識——這種現象難以數學建模。在此期間，他是成形裝藥數學的主要權威，這使他獲得了大量軍事諮詢，並因此參與了曼哈頓計劃。參與包括經常前往新墨西哥州洛斯阿拉莫斯實驗室的項目秘密研究設施。

馮·諾伊曼對原子彈的主要貢獻是爆炸透鏡的概念和設計，這些透鏡是壓縮後來投在長崎的胖子武器鈽核心所需的。雖然馮·諾伊曼不是「內爆」概念的創始人，但他是其最堅持的支持者之一，鼓勵其繼續發展，反對許多同事的直覺，他們認為這種設計不可行。他最終還提出了使用更強大的成形裝藥和更少裂變材料來大大提高「組裝」速度的想法。

當事實證明沒有足夠的鈾-235來製造超過一顆炸彈，而且鈽-239不能用於瘦子炸彈時，內爆透鏡項目大大擴展，馮·諾伊曼的想法得以實施。內爆是唯一可以與漢福德區提供的鈽-239一起使用的方法。他確立了所需的爆炸透鏡設計，但仍然存在對炸藥中「邊緣效應」和不完美之處的擔憂。他的計算表明，如果內爆不偏離球對稱超過5%，它就會起作用。在一系列模型失敗的嘗試之後，這一點由喬治·基斯佳科夫斯基實現，三位一體炸彈的建造於1945年7月完成。

在1944年9月訪問洛斯阿拉莫斯時，馮·諾伊曼表明，如果衝擊波的入射角在90°和某個極限角之間，來自固體物體的爆炸衝擊波反射引起的壓力增加比先前認為的要大。因此，確定原子彈的效力將在目標上方數公里處引爆時增強，而不是在地面水平。

內爆機制

馮·諾伊曼被納入目標選擇委員會，該委員會負責選擇日本城市廣島和長崎作為原子彈的首批目標。馮·諾伊曼監督與炸彈爆炸預期規模、估計死亡人數以及炸彈應在地面上方引爆以獲得最佳衝擊波傳播的距離相關的計算。文化之都京都是馮·諾伊曼的首選，這一選擇得到了曼哈頓計劃領導人萊斯利·格羅夫斯將軍的附議。然而，這個目標被戰爭部長亨利·L·史汀生否決。

1945年7月16日，馮·諾伊曼和許多其他曼哈頓計劃人員親眼目睹了代號為三位一體的原子彈爆炸的首次試驗。該事件是在新墨西哥州阿拉莫戈多轟炸靶場進行的內爆法裝置測試。僅憑他的觀察，馮·諾伊曼估計這次試驗產生了相當於5千公噸黃色炸藥（21太焦耳）的爆炸，但恩里科·費米通過在衝擊波經過他的位置時扔下撕碎的紙片並觀察它們散落多遠，得出了更準確的10千噸估計。爆炸的實際威力在20到22千噸之間。正是在馮·諾伊曼1944年的論文中，「千噸」這個詞首次出現。

馮·諾伊曼繼續不受干擾地工作，並與愛德華·泰勒一起成為支持氫彈計劃的人之一。他與克勞斯·富克斯合作進一步發展炸彈，1946年兩人申請了一項秘密專利，概述了使用裂變炸彈壓縮聚變燃料以引發核聚變的方案。富克斯-馮·諾伊曼專利使用了輻射內爆，但方式與最終氫彈設計泰勒-烏拉姆設計中使用的不同。然而，他們的工作被納入溫室行動的「喬治」試驗，這對測試最終設計中的概念具有指導意義。富克斯-馮·諾伊曼的工作作為富克斯核間諜活動的一部分被傳遞給蘇聯，但沒有用於蘇聯自己獨立發展的泰勒-烏拉姆設計。歷史學家傑里米·伯恩斯坦指出，具有諷刺意味的是，「約翰·馮·諾伊曼和克勞斯·富克斯在1946年產生了一項輝煌的發明，本可以改變氫彈發展的整個過程，但直到炸彈成功製造後才被完全理解。」

由於他的戰時服務，馮·諾伊曼於1946年7月被授予海軍傑出文職服務獎，並於1946年10月被授予功績獎章。

戰後工作

1950年，馮·諾伊曼成為武器系統評估小組的顧問，其職能是就新技術的開發和使用向參謀長聯席會議和美國國防部長提供建議。他還成為武裝部隊特種武器計劃的顧問，該計劃負責核武器的軍事方面。在接下來的兩年裡，他成為美國政府的顧問。這包括中央情報局（CIA）、原子能委員會有影響力的總顧問委員會成員、新成立的勞倫斯利弗莫爾國家實驗室的顧問，以及美國空軍科學顧問組的成員。在此期間，他成為五角大樓的「超級明星」國防科學家。他的權威被認為在美國政府和軍隊的最高層是絕對可靠的。

在美國空軍顧問委員會的幾次會議上，馮·諾伊曼和愛德華·泰勒預測，到1960年，美國將能夠製造出足夠輕的氫彈，可以放在火箭頂部。1953年，出席會議的伯納德·施里弗親自訪問普林斯頓的馮·諾伊曼以確認這種可能性。施里弗招募了特雷弗·加德納，後者又在幾週後拜訪了馮·諾伊曼，以在開始在華盛頓競選這種武器之前充分了解未來的可能性。現在，馮·諾伊曼要么主持要么在多個處理戰略飛彈和核武器的委員會任職，他能夠在政府報告中注入幾個關於蘇聯在這兩個領域以及對美國轟炸機的戰略防禦方面潛在進展的關鍵論點，以爭取創建洲際彈道飛彈（ICBM）。加德納多次帶馮·諾伊曼參加美國國防部的會議，與各種高級官員討論他的報告。這些報告中的幾個設計決策，如慣性制導機制，將構成此後所有ICBM的基礎。到1954年，馮·諾伊曼還定期向各種國會軍事小組委員會作證，以確保持續支持ICBM計劃。

然而，這還不夠。為了讓ICBM計劃全速運行，他們需要美國總統的直接行動。他們在1955年7月的一次直接會議上說服了艾森豪總統，這導致了1955年9月13日的一項總統指令。該指令指出，如果蘇聯在美國之前開發出ICBM，「將對國家安全和自由世界的凝聚力產生最嚴重的影響」，因此將ICBM項目指定為「高於所有其他項目的最高優先級研究與發展計劃」。國防部長被命令以「最大緊迫性」開始該項目。後來的證據表明，蘇聯當時確實已經在測試自己的中程彈道飛彈。馮·諾伊曼將繼續會見總統，包括在他位於賓夕法尼亞州蓋茨堡的家中，以及其他高級政府官員，作為ICBM的關鍵顧問，直到他去世。

原子能委員會

1955年，馮·諾伊曼成為原子能委員會（AEC）的委員，這是當時科學家在政府中可獲得的最高官方職位。（雖然他的任命正式要求他斷絕所有其他諮詢合同，但在空軍和幾位關鍵參議員提出擔憂後，馮·諾伊曼獲得了繼續與幾個關鍵軍事委員會合作的豁免。）他利用這一職位進一步生產適合洲際彈道飛彈（ICBM）投送的緊湊型氫彈。他參與糾正這些武器所需的氚和鋰-6的嚴重短缺，並反對滿足於陸軍想要的中程飛彈。他堅信，由ICBM深入敵方領土投送的氫彈將是最有效的武器，而飛彈的相對不精確性對於氫彈來說不會是問題。他說俄羅斯人可能也在建造類似的武器系統，事實證明確實如此。當劉易斯·斯特勞斯在1955年下半年不在時，馮·諾伊曼接任委員會代理主席。

在他因癌症去世前的最後幾年，馮·諾伊曼領導了美國政府的絕密ICBM委員會，該委員會有時會在他家中開會。其目的是決定建造足以攜帶熱核武器的ICBM的可行性。馮·諾伊曼長期以來一直認為，雖然技術障礙很大，但可以克服。SM-65擎天神飛彈於1959年通過了首次全功能測試，即他去世兩年後。更先進的泰坦火箭於1962年部署。兩者都是在馮·諾伊曼主持的ICBM委員會中提出的。ICBM的可行性既歸功於改進的、更小的彈頭，這些彈頭沒有制導或耐熱問題，也歸功於火箭技術的發展，而他對前者的理解使他的建議非常寶貴。

馮·諾伊曼進入政府服務主要是因為他覺得，如果自由和文明要生存下去，就必須是因為美國將戰勝來自納粹主義、法西斯主義和蘇聯共產主義的極權主義。在參議院委員會聽證會上，他將自己的政治意識形態描述為「激烈的反共，比常規更加軍國主義」。

曾任的軍事顧問職

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認知與記憶能力

馮·諾伊曼有著過目不忘的記憶。赫尔曼·古德斯汀(Herman Goldstine)寫下：「他的一個出眾能力是他絕對精準的回憶。就我所知，馮·諾伊曼能夠僅僅讀過一次某段文字，接著一字不差地背誦出來，甚至在多年之後也可以流暢做到。他還可以將原本的語言翻譯成英語，速度絲毫不減。有一次我想測試他的能力於是問他雙城記是如何開始的。接著他沒有任何停頓，他立即背誦起第一章，一直到十分鐘後我要他停止才停止。」

若尔福·兰兹霍夫(Rolf Landshoff)曾回忆，有一次冯·诺依曼、恩里科·费米和理查·费曼都在泰勒的办公室一起讨论和计算问题。他们每隔几分钟就会暂停讨论并开始一轮计算。费米使用计算尺，费曼使用手摇式计算机，而冯·诺依曼只凭心算。冯·诺依曼几乎能在相差不大的时间内得到与其他二人相似的计算结果。

私人生活

馮·諾伊曼有著廣泛的文化興趣。6歲時，他能流利地使用拉丁文和古希臘文，他對古代歷史抱著終身的熱情。

馮·諾伊曼有不善于处理人际关系的一面，后来有所改变。他不会与情绪偏颇或政治观点自负的人争辩，他觉得争论并不能说服对方改变观点，即使是规劝也容易引起对方厌烦。他内心是个悲观主义者，但是他脾气好，平时爱对人笑，不喜欢与别人过不去，不爱结交愁眉苦脸的人。

馮·諾伊曼在美國交情最深厚的朋友是斯塔尼斯拉夫·乌拉姆。乌拉姆的朋友技安卡羅羅塔寫道「他們會花好幾個小時談笑聊八卦，交換猶太笑話，時常在其中穿插數學話題。」除了乌拉姆以外，冯·诺依曼也与恩里科·费米和理查德·费曼等有幽默感的学者关系很好。由于政治见解不合，他和想法相对单纯的爱因斯坦逐渐疏远。

冯·诺依曼经常只睡很少的觉，但是仍然能够在剩余的约20个小时内保持精力。

逸闻

• 冯·诺依曼在女性不多的場合，会流露出无节操的一面，爱讲黄色笑话融洽数学研讨会气氛。记性好和语言天赋高的他，储备的色情段子数量也相当丰富。爱德华·泰勒说冯·诺依曼是自己唯一见过的一个能随时切换3种不同语言讲黄色笑话的人。冯·诺依曼早在读苏黎世联邦工业大学期间，就会在同学聚会时讲述下流笑话，其表现力甚至与他的数学才能相当。

• 他的父亲马克思·冯·诺依曼身材不好，为阻止身体发福而积极锻炼身体，并带领全家人向一位师傅学击剑。这位击剑师傅自称为教授。小约翰尼没有学会击剑，而且从那时起就对“教授”称呼开始反感，以至于他长大成名之后也不喜欢别人叫他教授。约翰尼成年后也为身材变胖而郁闷，但与父亲不同，他即使变胖也仍然不爱运动。

• 冯·诺依曼小时候学钢琴也以失败收场，一直停留在练习基本指法的阶段而没有长进。这令他的家人们十分失望。更不好的是，他从那时起养成了在弹琴的时候也要时不时分心看一眼边上放着的数学或历史书籍的习惯。多年以后，他在开车的时候也喜欢分神去想别的事情，导致他成为经常危险驾驶的一代马路杀手。

• 由于做事经常三心二意，冯·诺依曼在苏黎世联邦工业大学化工系读书时经常打碎玻璃器皿，被罚了不少钱，甚至创下赔偿记录。

• 1926年，沃纳·海森堡在哥廷根开讲座，宣传他和埃尔温·薛定谔在量子论中的分歧。年老的希尔伯特向助手诺德海姆(Lothar Nordheim)打听海森堡的讲座内容是什么，诺德海姆拿来了一篇论文，但是希尔伯特没有看懂。冯·诺依曼得知此事后，亲自用了几天时间把论文改写成了希尔伯特喜闻乐见的公理化的组织形式，还特意用上了希尔伯特本人的研究成果中常用的名词和概念，令希尔伯特乐开了花。

名言

• “若人們不相信數學簡單，只因他們未意識到生命之複雜。”

• “当一门数学学科远离它的经验来源，或者甚至它只是由来自‘实际’的思想间接激发产生的第二代和第三代，这门学科就危机四伏了。它会越来越走向纯美学化，越来越纯粹地为艺术而艺术......现在有一种巨大的危险：这门学科将沿着那条阻力最小的路线发展......将会分崩离析，成为许多无足轻重的分支......无论如何，我觉得唯一的补救办法就是恢复到青春回到起源，重新注入多少是直接经验的思想。”

荣誉

1994年被授予美国国家基础科学奖。

有2個獎項以他為名：

• 运筹研究与管理学机构(Institute for Operations Research and the Management Sciences, INFORMS)的冯·诺伊曼理論獎 (授予在运筹学与管理学方面有基础性和持续性贡献的人)
• IEEE的IEEE冯·诺伊曼獎

作品与著作

• John von Neumann. On the introduction of transfinite numbers [关于超限数的引入]. 1923 （英语）. 
• John von Neumann. An axiomatization of set theory [集合论的一种公理化]. 1925 （英语）. 
• John von Neumann. Mathematical Foundations of Quantum Mechanics [量子力学的数学基础]. Beyer, R. T. (翻译). Princeton University Press. 1996 [1932]. ISBN 978-0-691-02893-4 （英语）. 
• John von Neumann; Morgenstern, O. Theory of Games and Economic Behavior [博弈论与经济行为] (pdf). Princeton University Press. 2007 [1944]. ISBN 978-0-691-13061-3 （英语）. 
• John von Neumann. First Draft of a Report on the EDVAC [就EDVAC的报告的首份手稿] (PDF). 1945. （原始内容 (pdf)存档于2011年5月3日） （英语）. 
• John von Neumann. Taub, A. H. , 编. Collected Works of John von Neumann [冯·诺依曼作品选集]. Pergamon Press. 1963. ISBN 978-0-08-009566-0 （英语）. 
• John von Neumann. Burks, A. W. , 编. Theory of Self-Reproducing Automata [自复制自动机理论]. University of Illinois Press. 1966. ISBN 978-0-598-37798-2 （英语）. 
• John von Neumann. Continuous geometry [连续几何]. Princeton Landmarks in Mathematics. 普林斯顿大学出版社. 1998 [1960]. ISBN 978-0-691-05893-1. MR 0120174 （英语）. 
• John von Neumann. Israel Halperin , 编. Continuous geometries with a transition probability [连续几何与转移概率]. Memoirs of the American Mathematical Society. 1981, 34 (252) [1937]. ISBN 9780821822524. MR 0634656 （英语）. 
• John von Neumann. The Computer and the Brain [计算机与人脑]. 1958 （英语）.  (去世后出版)

传记

• Norman Macrae. John von Neumann: The Scientific Genius Who Pioneered the Modern Computer, Game Theory, Nuclear Deterrence, and Much More [约翰·冯·诺依曼：开拓现代计算机、博弈论、核武器等等诸多事物的科学天才] 1. American Mathematical Soc. 1999 [1992]. ISBN 9780821826768 （英语）. 
  • 汉译版：Norman Macrae. John von Neumann: The Scientific Genius Who Pioneered the Modern Computer, Game Theory, Nuclear Deterrence, and Much More [天才的拓荒者：冯·诺伊曼传]. 哲人石丛书. 范秀华 (翻译), 朱朝晖 (翻译), 刘丽曼 (责任编辑) 1. 中国上海冠生园路393号: 上海科技教育出版社. 2008 [1992]. ISBN 978-7-5428-4773-7 （中文（中国大陆））. 
• Nicholas A. Vonneuman. John Von Neumann As Seen by His Brother [弟弟眼中的约翰·冯·诺依曼] 1. 宾夕法尼亚州Meadowbrook地区: 私人印刷. 1988. ISBN 9780096198102 （英语）. 

参考资料

补充来源

• Eugene Wigner; Andrew Szanton. The Recollections of Eugene P. Wigner as told to Andrew Szanton [乱世学人——维格纳自传]. 哲人石丛书. 关洪 (翻译), 匡志强 (责任编辑) 1. 中国上海冠生园路393号: 上海科学技术出版社. 2001: 6–8 [1992]. ISBN 7-5428-2681-6 （中文（中国大陆））. 

外部連接

• 約翰·J·奧康納; 埃德蒙·F·羅伯遜, Von_Neumann, MacTutor数学史档案 （英语） 
• von Neumann's profile （页面存档备份，存于互联网档案馆） at Google Scholar
• Oral history interview with Alice R. Burks and Arthur W. Burks （页面存档备份，存于互联网档案馆）, Charles Babbage Institute, University of Minnesota, Minneapolis. Alice Burks and Arthur Burks describe ENIAC, EDVAC, and IAS computers, and John von Neumann's contribution to the development of computers.
• Oral history interview with Eugene P. Wigner （页面存档备份，存于互联网档案馆）, Charles Babbage Institute, University of Minnesota, Minneapolis.
• Oral history interview with Nicholas C. Metropolis （页面存档备份，存于互联网档案馆）, Charles Babbage Institute, University of Minnesota.
• Von Neumann vs. Dirac （页面存档备份，存于互联网档案馆） – from Stanford Encyclopedia of Philosophy