纽曼-尚克斯-威廉士素数

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素数纽曼-尚克斯-威廉士素数(Newman-Shanks-Williams prime,簡寫為NSW素数若且唯若它能寫成以下的形式:

S_{2m+1}=\frac{(1+\sqrt{2})^{2m+1}+(1-\sqrt{2})^{2m+1}}{2}

1981年M. Newman、D. Shanks和H. C. Williams在研究有限集合時,率先描述了NSW素数。

首幾個NSW素数為7, 41, 239, 9369319, 63018038201, ...(OEIS:A088165),對應指数3, 5, 7, 19, 29, ... (OEIS:A005850

上式中的S可用遞歸的方法定義,雖然得出來的未必是素数:

S_0=1
S_1=1
S_n=2S_{n-1}+S_{n-2}對於所有n\ge2

這個數列的首幾項為1, 1, 3, 7, 17, 41, 99OEIS:A001333)。這些數亦出現在以連分數表示的\sqrt{2}

進階參閱[编辑]

  • M. Newman, D. Shanks and H. C. Williams, Simple groups of square order and an interesting sequence of primes, Acta. Arith., 38:2 (1980/81) 129-140.