线性映射

维基百科,自由的百科全书
跳转至: 导航搜索
线性代数
\mathbf{A} = \begin{bmatrix}
1 & 2 \\
3 & 4 \end{bmatrix}
向量 · 矩阵  · 行列式  · 线性空间

数学中,线性映射(也叫做线性变换线性算子)是在两个向量空间之间的函数,它保持向量加法和标量乘法的运算。术语“线性变换”特别常用,尤其是对从向量空间到自身的线性映射(自同态)。

抽象代数中,线性映射是向量空间的同态,或在给定的上的向量空间所构成的范畴中的态射

定义和基本性质[编辑]

VW 是在相同 K 上的向量空间。函数 f : VW 被称为是线性映射,如果对于 V 中任何两个向量 xyK 中任何标量 a,满足下列两个条件:

可加性: f(x+y)=f(x)+f(y) \,
齐次性: f(ax)=af(x) \,

这等价于要求对于任何向量 x1, ..., xm 和标量 a1, ..., am,方程

f(a_1 x_1+\cdots+a_m x_m)=a_1 f(x_1)+\cdots+a_m f(x_m)

成立。

偶尔的,VW 可被看作在不同域上的向量空间。那么必须指定那些基础域要被用在“线性”的定义中。如果 VW 被看作前面的域 K 上的空间,我们谈论的就是 K-线性映射。例如,复数的共轭是 R-线性映射 CC,而不是 C-线性映射。

VK (K 被看作在自身上的向量空间)的线性映射被叫做线性泛函

从定义立即得出 f(0) = 0。因此线性映射有时叫做均匀线性映射(参见线性泛函)。

例子[编辑]

  • 对于实数,映射 x\mapsto x^2 不是线性的。
  • 如果 Am × n矩阵,则 A 定义了一个从 RnRm 的线性映射,这个映射将行向量 xRn 映射到列向量 AxRm。反过来说,在有限维向量空间之间的任何线性映射都可以用这种方式表示;参见后面章节。
  • 积分生成从在某个区间上所有可积分实函数的空间到 R 的线性映射。
  • 微分是从所有可微分函数的空间到所有函数的空间的线性映射。
  • 如果 VW 为在域 F 上的有限维向量空间,则从线性映射 f : VW 到在后面所描述的 dimF(W) × dimF(V) 矩阵的函数也是线性映射。

矩阵[编辑]

如果 VW 是有限维的,并且在这些空间中有选择好的,则从 VW 的所有线性映射可以被表示为矩阵;这是很有用的,因为它允许具体的运算。反过来说,矩阵生成线性映射的例子: 如果 A 是实数的 m × n 矩阵,则规定 f(x) = Ax 描述一个线性映射 RnRm (参见欧几里得空间)。

\{v_1, \cdots, v_n\}V 的一个基。则在 V 中所有向量 v 是唯一的由在

c_1 v_1+\cdots+c_n v_n

的系数 c_1, \cdots, c_n 确定的。 如果 f : VW 是线性映射,

f(c_1 v_1+\cdots+c_n v_n)=c_1 f(v_1)+\cdots+c_n f(v_n),

这蕴涵了这个函数 f 是完全由

f(v_1),\cdots,f(v_n)

的值确定的。

现在设 \{w_1, \dots, w_m\}W 的基。则可以表示每个 f(v_j) 的值为

f(v_j)=a_{1j} w_1 + \cdots + a_{mj} w_m

因此函数 f 是完全由 a_{i,j} 的值确定的。

如果把这些值放置到 m × n 矩阵 M 中,则可以方便的使用它来计算 f 对在 V 中任何向量的值。如果我放置 c_1, \cdots, c_n 的值到 n × 1 矩阵 C,我们有 MC = f(v)。

一个单一的线性映射可以由很多矩阵表示。这是因为矩阵的元素的值依赖于选择的基。

线性变换矩阵的例子[编辑]

二维空间 R2 的线性变换的一些特殊情况有:

从给定线性映射形成新的线性映射[编辑]

两个线性映射的复合映射是线性的: 如果 f : VWg : WZ 是线性的,则 g o f : VZ 也是线性的。

若线性映射可逆,则该线性映射的也是线性映射。

如果 f1 : VWf2 : VW 是线性的,则它们的和 f1 + f2 也是线性的(这是由 (f1 + f2)(x) = f1(x) + f2(x) 定义的)。

如果 f : VW 是线性的,而 a 是基础域 K 的一个元素,则定义自 (af)(x) = a (f(x)) 的映射 af 也是线性的。

所以从 VW 的线性映射的集合 L(V,W) 自身形成在 K 上的向量空间,有时指示为 Hom(V,W)。进一步的说,在 V=W 的情况中,这个向量空间(指示为 End(V))是在映射复合下的结合代数,因为两个线性映射的复合再次是线性映射,所以映射的复合总是结合律的。

给定有限维的情况,如果基已经选择好了,则线性映射的复合对应于矩阵乘法,线性映射的加法对应于矩阵加法,而线性映射与标量的乘法对应于矩阵与标量的乘法。

自同态和自同构[编辑]

线性变换 f : VVV自同态(endomorphism);所有这种自同态的集合 End(V) 与如上定义的加法、复合和标量乘法一起形成一个结合代数,带有在域 K 上的单位元(特别是一个环)。这个代数的乘法单位元是恒等映射 id : VV

V 的自同态也是叫做 V自同构的同构。。两个自同构的复合再次是自同构,而 V 的所有的自同构的集合形成一个V自同构群指示为 Aut(V) 或 GL(V)。因为自同构正好是那些拥有在复合下的逆元的自同态,Aut(V) 是在环 End(V) 中可逆元的群。

如果 V 有有限维度 n,则 End(V) 同构于带有在 K 中元素的所有 n × n 矩阵的结合代数V 的自同态群同构于带有在 K 中元素的所有 n × n 可逆矩阵的一般线性群 GL(n, K) 。

核、像和秩-零化度定理[编辑]

如果 f : VW 是线性的,我们定义 f(或称值域)为

\operatorname{\ker}(f)=\{\,x\in V:f(x)=0\,\}
\operatorname{im}(f)=\{\,f(x):x\in V\,\}

ker(f) 是 V子空间,而 im(f) 是 W 的子空间。下面的叫做秩-零化度定理的维度公式经常是有用的:


  \dim(\ker( f )) 
+ \dim(\operatorname{im}( f )) 
= \dim( V ) \,

dim(im(f)) 的数也叫做“f 的秩”(rank)并写为 rk(f),有时写为 ρ(f);dim(ker(f)) 的数也叫做“f 的零化度”(nullity)并写为 ν(f)。如果 VW 是有限维的,基已经选择好并且 f 被表示为矩阵 A,则 f 的秩和零化度分别等于矩阵 A零化度

参见[编辑]

引用[编辑]