维纳-辛钦定理

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维纳-辛钦定理,又称维纳-辛钦-爱因斯坦定理辛钦-柯尔莫哥洛夫定理。该定理指出:宽平稳随机过程功率谱密度是其自相关函数傅立叶变换[1][2][3]

諾伯特·維納 在1930年首次发表了这个定理;[4] 辛钦 独立地[5] 发现定理的结果并且于1934年发表了它。[6] 阿尔伯特·爱因斯坦 也可能在1914年的一份简短的备忘录里预测了这个想法。[7]

对于连续随机过程x(t) \ ,其功率谱密度为


S_{xx}(f)=\int_{-\infty}^\infty r_{xx}(\tau)e^{-j2\pi f\tau} \ d\tau

其中,r_{xx}(\tau) = \operatorname{E}\big[\, x(t)x^*(t-\tau) \, \big] \ 是定义在数学期望意义上的自相关函数,  j 是虚数单位, S_{xx}(f) \ 是函数x(t)\,的功率谱密度。

注意到自相关函数的定义是乘积的数学期望,而x(t)\,的傅立叶变换不存在,因为平稳随机函数不满足平方可积

星号*表示复共轭,当随机过程是过程时可以将其省去。

对于离散随机过程x[n] \ ,其功率谱密度为

 S_{xx}(f)=\sum_{k=-\infty}^\infty r_{xx}[k]e^{-j2\pi k f}

其中

r_{xx}[k] = \operatorname{E}\big[ \, x[n] x^*[n-k] \, \big] \

S_{xx}(f) \

是离散函数x[n]\,的功率谱密度。由于x[n]\,采样得到的离散时间序列,其谱密度在频域上是周期函数

应用[编辑]

定理是用于分析线性时不变系统,LTI系统中,当输入和输出不是平方可积有用,因此它们的傅立叶变换不存在。必然结果是,该傅立叶一个LTI系统的输出的自相关函数的变换等于傅立叶变换的产物系统时间的输入的自相关函数的傅里叶变换的平方幅度变换系统脉冲响应的变换[15]这工作即使当傅立叶变换的输入和输出信号的不存在的,因为这些信号不平方可积,因此系统输入和输出可以不直接与由傅立叶脉冲响应的变换。

由于傅立叶的信号的自相关函数的变换是信号的功率谱,这必然等于说,该输出的功率谱等于输入倍的功率传递函数的功率谱。

这种推论是用在功率谱估计的参数方法。

表述差异[编辑]

在许多教科书和在许多技术文献是默认假定的自相关函数的傅里叶反转和功率谱密度是有效的,以及Wiener-欣钦定理指出,非常简单,因为如果它表示傅立叶变换自相关函数等于功率谱密度,忽略收敛所有的问题。[16](爱因斯坦就是一个例子)。但是定理(陈述为这里),由诺伯特·维纳和亚历山大欣钦应用于样品的功能(信号)宽感平稳随机过程,信号的傅立叶变换是不存在的。维纳的贡献的全部意义是使一个宽义平稳随机过程的一个样本函数自相关函数的谱分解感即使在积分进行傅立叶变换和傅立叶逆没有任何意义。

有些人提到与R作为自协方差函数。他们然后进行归一化,通过用R(0),划分以获得他们称之为自相关函数。

参见[编辑]

参考文献[编辑]

  1. ^ Dennis Ward Ricker. Echo Signal Processing. Springer. 2003. ISBN 140207395X. 
  2. ^ Leon W. Couch II. Digital and Analog Communications Systems sixth ed. Prentice Hall, New Jersey. 2001: 406–409. 
  3. ^ Krzysztof Iniewski. Wireless Technologies: Circuits, Systems, and Devices. CRC Press. 2007. ISBN 0849379962. 
  4. ^ Wiener, Norbert. Generalized Harmonic Analysis. Acta Mathematica. 1930, 55: 117–258. 
  5. ^ Nahin, Paul J. Dr. Euler's Fabulous Formula: Cures Many Mathematical Ills. Princeton University Press. 2011: 225. ISBN 9780691150376. 
  6. ^ Khintchine, A. Korrelationstheorie der stationären stochastischen Prozesse. Mathematische Annalen. 1934, 109 (1): 604–615. doi:10.1007/BF01449156. 
  7. ^ Jerison, David; Singer, Isadore Manuel; Stroock, Daniel W. The Legacy of Norbert Wiener: A Centennial Symposium (Proceedings of Symposia in Pure Mathematics). American Mathematical Society. 1997: 95. ISBN 0-8218-0415-4.