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罗尔定理

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中值定理

相关条目微积分学

罗尔中值定理微分学中一条重要的定理,是三大微分中值定理之一,叙述如下:如果函数满足

  1. 在闭区间连续
  2. 在开区间内可导;
  3. 在区间端点处的函数值相等,即

那么在内至少有一点,使得[1]

证明[编辑]

罗尔定理的几何意义

首先,因为在闭区间上连续,根据极值定理上有最大值最小值。如果最大值和最小值都在端点处取得,由于显然是一个常数函数。那么对于任一点,我们都有

现在假设处取得最大值。我们只需证明在该点导数为零。

,由最大值定义,那么。令,则。因为处可导,所以我们有

,那么。这时令,则有,所以

于是,

处取得最小值的情况同理。

例子[编辑]

第一个例子[编辑]

半径为r半圆

考虑函数

(其中r > 0。)它的图像是中心位于原点的半圆。这个函数在闭区间[−r,r]内连续,在开区间(−r,r)内可导(但在终点−rr处不可导)。由于f(−r) = f(r),因此根据罗尔定理,存在一个导数为零的点。


第二个例子[编辑]

绝对值函数的图像

如果函数在区间内的某个点不可导,则罗尔定理的结论不一定成立。对于某个a > 0,考虑绝对值函数:

那么f(−a) = f(a),但−aa之间不存在导数为零的点。这是因为,函数虽然是连续的,但它在点x = 0不可导。注意f的导数在x = 0从-1变为1,但不取得值0。


推广形式[编辑]

第二个例子表明罗尔定理下面的一般形式:

考虑一个实值,在闭区间[a,b]上的连续函数,并满足f(a) = f(b).如果对开区间(a,b)内的任意x,右极限

而左极限

扩展的实数轴[−∞,∞]上存在,那么开区间(a,b)内就存在c使得这两个极限

中其中一个≥ 0,另一个≤ 0(在扩展的实数轴上)。如果对任何x左极限和右极限都相同,那么它们对c也相等,于是在cf的导函数存在且等于零。

参见[编辑]

参考文献[编辑]

  1. ^ 殷锡鸣. 《高等数学(上)》. 上海: 华东理工大学出版社. 2004-08-01: P137. ISBN 7562815917.