罗素悖论

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罗素悖论(Russell's paradox),也称为理发师悖论,是英國哲學家罗素於1901年提出的悖论,一个关于的内涵问题。罗素悖论当时的提出,造成了第三次数学危机

羅素悖論[编辑]

我们通常希望:任给一个性质,满足该性质的所有集合總可以组成一个集合。但这样的企图将导致悖论:

罗素悖论:设有一性質P(EX:"年收入高於三千萬"就是一個性質),並立以一性質函数P(x),且其中的自變量x有此特性:“x∉{P(x)}”,

现假设由性质P能夠确定一个滿足性質P的集合A——也就是说“A={x|x ∉ A}”。那么现在的问题是:A∈A是否成立?


首先,若A∈A,则A是A的元素,那么A不具有性质P,由命题函数P可以得知A∉A;

其次,若A∉A,根據定義,A是由所有滿足性質P的類組成,也就是说,A具有性质P,所以A∈A。

罗素悖论还有一些更为通俗的描述,如理发师悖论书目悖论。 但理髮師悖論被一些人認為只是罗素悖论的一種描述方式,僅以理髮師悖論並無法完全敘述羅素悖論。


罗素悖论在类的理论中通过内涵公理而得到解决。

理发师悖论和罗素悖论等价[编辑]

理发师悖论和罗素悖论是等价的:

因为,如果把每个人看成一个集合,这个集合的元素被定义成这个人刮脸的对象。那么,理发师宣称,他的元素,都是城里不属于自身的那些集合,并且城里所有不属于自身的集合都属于他。那么他是否属于他自己?这样就由理发师悖论得到罗素悖论。反过来的变换也是成立的。

另一種等價的悖論為書目悖論,第一類的目錄有它自己的條目,經典的例子就是維基百科,第二類的書目錄則沒有它自己的條目,一般的書目都是如此,問:若把所有第二類的書做個總目錄,它應不應該含有它自己的條目?

参考条目[编辑]