罗素悖论

维基百科,自由的百科全书
跳转至: 导航搜索

罗素悖论(Russell's paradox),也称为理发师悖论,是罗素於1901年提出的悖论,一个关于的内涵问题。羅素悖論當時的提出,造成了第三次數學危機

“理发师悖论”悖论内容[编辑]

在某个城市中有一位理发师,他的广告词是这样写的:“本人的理发技艺十分高超,誉满全城。我将为本城所有不给自己刮脸的人刮脸,我也只给这些人刮脸。我对各位表示热诚欢迎!”来找他刮脸的人络绎不绝,自然都是那些不给自己刮脸的人。可是,有一天,这位理发师从镜子里看见自己的胡子长了,他本能地抓起了剃刀,你们看他能不能给他自己刮脸呢?如果他不给自己刮脸,他就属于“不给自己刮脸的人”,他就要给自己刮脸,而如果他给自己刮脸呢?他又属于“给自己刮脸的人”,他就不该给自己刮脸。于是产生矛盾。

羅素悖論[编辑]

我们通常希望:任给一个性质,满足该性质的所有类可以组成一个类。但这样的企图将导致悖论:

罗素悖论:设命题函数P(x)表示“x∉x”,现假设由性质P确定了一个类A——也就是说“A={x|x ∉ x}”。那么现在的问题是:A∈A是否成立?首先,若A∈A,则A是A的元素,那么A不具有性质P,由命题函数P知A∉A;其次,若A∉A,也就是说A具有性质P,而A是由所有具有性质P的类组成的,所以A∈A。

罗素悖论还有一些更为通俗的描述,如理发师悖论、书目悖论。

罗素悖论在类的理论中通过内涵公理而得到解决。

理发师悖论和罗素悖论等价[编辑]

理发师悖论和罗素悖论是等价的:

因为,如果把每个人看成一个集合,这个集合的元素被定义成这个人刮脸的对象。那么,理发师宣称,他的元素,都是城里不属于自身的那些集合,并且城里所有不属于自身的集合都属于他。那么他是否属于他自己?这样就由理发师悖论得到了罗素悖论。反过来的变换也是成立的。

書目悖論[编辑]

书目悖论与理发师悖论基本一致。可以说是罗素悖论的另一种通俗表达形式。内容是:一个图书馆要编纂一本书,其内容是列出该图书馆裏所有不列出自己书名的书的名字。那么作为目录的书该不该列出自己的书名?

参考条目[编辑]