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群上同調

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同調代數中,群上同調是一套研究及其表示的代數工具。群上同調源於代數拓撲,在代數數論上也有重要應用;它是現代類域論的基本構件之一。

起源[编辑]

群論中的指導思想之一,是研究群 及其表示的關係。群 的表示是 -模的特例:一個 -模是一個阿貝爾群 配上 上的群作用 。等價的說法是:群環 上的模。通常將 的作用寫成乘法 。全體 -模自然地構成一個阿貝爾範疇

對給定的 -模 ,最重要的子群之一是其 -不變子群

是一個 -子模(即:是 的子群,且在 的作用下不變),則 上賦有自然的 -模結構,,但是未必有 。第一個群上同調群 可以設想為兩者間差異的某種量度。一般而言,可以定義一族函子 ,其間關係可以由長正合序列表示。

形式建構[编辑]

以下假設 有限群,全體 -模構成阿貝爾範疇,其間的態射 定義為滿足 的群同態 。由於此範疇等價於 -模範疇,故有充足的內射對象

函子 是從 -模範疇映至阿貝爾群範疇的左正合函子。定義 為其導函子。根據導函子的一般理論,可知:

  • 長正合序列:若 -模的短正合序列,則導出相應的長正合序列

在上述定義中,若固定一個域 ,並以 代替 ,得到的上同調群依然同構。

標準分解[编辑]

導出函子的定義來自內射分解,不便於具體計算。然而注意到 ,其中 被賦予平凡的 作用:,故群上同調可以用Ext函子表達為

另一方面,-模範疇中也有充足的射影對象,若取一 的射影分解 ,則有自然的同構 。最自然的分解是標準分解

給出。

定義 ,其元素為形如 的函數,並滿足 ,稱之為齊次上鏈。根據 上的作用,這種 由它在形如 的元素上的取值確定。藉此,可將上鏈複形 描述為

  • 的元素為 之函數。

其中的元素稱為非齊次上鏈

綜上所述,得到

例子[编辑]

較常用的上同調是 。從標準分解可導出以下的描述:

準此要領,亦有

群同調[编辑]

上述理論有一對偶版本:對於任一 -模 ,定義 為形如 的元素生成之子模。考慮從 -模範疇映至阿貝爾群範疇的函子

這是一個右正合函子,其導出函子稱為為群同調 。群同調可以藉Tor函子描述為

對於有限群,群同調與群上同調可在塔特上同調群的理論下得到一貫的描述。

非阿貝爾群上同調[编辑]

將上述定義中的 -模 改成一般的群 (未必交換),並帶有 的作用 (稱之為 -群)。此時仍然可以定義第零個及第一個群上同調:

須留意 並不是群,而是帶有一個指定元素的集合(來自 的單位元素),以下所謂的正合性,都應該在此意義下理解。

-群的短正合序列,則有長正合序列

落在 的中心,此序列右端可再加一項

性質[编辑]

Res 與 Cor[编辑]

為群同態,則可將任一 -模透過 視為 -模,此運算導出上同調之間的映射

此映射與群上同調的長正合序列相容。當 的子群而 是包含映射,導出的映射稱為限制映射,記為 Res。

由於我們假設 為有限群,必有 ,此時映射

導出一個上限制映射

定理.

中心擴張[编辑]

是平凡的 模(即 ),則 中的元素一一對應於 中心擴張的等價類

中心擴張意謂:群擴張,而且 落在 的中心內。

具體描述方法是:任取一映射 不一定是群同態,但存在函數 使得 刻劃了 的群結構。不難驗證 滿足 ,而 的選取對應於 ,所以 僅決定於唯一的一個中心擴張。反之,任一 都來自於某個中心擴張,證畢。

譜序列[编辑]

正規子群,則有下述譜序列

對於射影有限群,此式依然成立。

參考文獻[编辑]