群子集的乘積

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數學,若STG的子集,則其乘積為G的子集,其定義為

ST = \{st : s \in S \mbox{ and } t\in T\}

其中,ST不必然需要是子群。其乘積的結合律源自群的結合律。因此,群子集的乘積定義出了一個於G冪集上的自然么半群結構。

即使STG的子群,其乘積也不必然會是個子群。其乘積為子群若且唯若ST = TS。在這一情形之下,ST會是個由ST生成出的群,即ST = TS = <ST>。若ST有一是G正規子群,上述情形便會滿足,ST會是個子群。設S是正規子群,則根據第二同構定理STT的正規子群且ST/S 同構于 T/(ST)。

G為一有限群,且STG的子群,則ST的元素個數可由乘積公式給定:

|ST| = \frac{|S||T|}{|S\cap T|}

即使ST都不是正規子群,上述公式也一樣適用。

特别地,如果ST的交集仅为单位元,那么ST的每一个元素都可以唯一地表示为乘积st,其中s位于S内,t位于T内。如果 ST还是可交换的,那么ST就是一个群,称为扎帕-塞普乘积。更进一步,如果STST中正规,那么ST便称为半直积。最后,如果ST都在ST中正规,那么ST便称为直积

引用[编辑]

  • Rotman, Joseph. An Introduction to the Theory of Groups (4th ed.). Springer-Verlag. 1995. ISBN 0-387-94285-8. 

另見[编辑]