群擴張

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抽象代數中,設 Q,若存在群 G, N,及群的正合序列

1 \to N \stackrel{i}{\to} G \stackrel{p}{\to} Q \to 1

(換言之,i 是單射、p 是滿射,且 \mathrm{Ker}(p)=\mathrm{Im}(i);是故可視 NG正規子群 G/N \simeq Q。)則稱群 GQ群擴張,或稱 QN 的扩张。

短正合序列的同構關係,可以定義群擴張的等價類。若某個群擴張等價於

1 \to N \to N \times Q \to Q \to 1

則稱此擴張為平凡擴張。當 N 落在 G中心時,稱之為中心擴張

分類[编辑]

一般的群擴張不易分類。若限定 G 為阿貝爾群,則 QN 的擴張等價類一一對應於 \mathrm{Ext}^1_\Z(Q,N)(參見條目 Ext函子)。

另一方面,若在群擴張 0 \to A \to E \to G \to 1 中,A 為阿貝爾群,可任取一截面 s: G \to E(s 不一定是群同態),群 G 以共軛方式 a \mapsto s(g)as(g)^{-1}A 上作用。這類擴張的等價類由群上同調 H^2(G,A) 分類,並具有自然的群結構。最常見的例子是中心擴張。

李代數的擴張[编辑]

利用同樣作法,也可以定義李代數的擴張。此即李代數的正合序列

0 \to \mathfrak{a} \to \mathfrak{e} \to \mathfrak{g} \to 0

[\mathfrak{a}, \mathfrak{e}]=0,稱之為中心擴張。

參考資料[编辑]