群的直和

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數學中, G 叫做子群的集合 {Hi} 的直和,如果

  • 每個 HiG正規子群
  • 每對不同的子群都有平凡的交集,并且
  • G = <{Hi}>;換句話說,G 是子群 {Hi} 生成的。

解說[编辑]

如果 G 是子群 HK 的直和,則我們寫為 G = H + K;如果 G 是子群集合 {Hi} 的直和,我們經常寫為 G = ∑Hi。不嚴格的說,直和同構於子群的弱直積

抽象代數中,這種構造方法可以推廣為向量空間和其他結構的直和;詳情參見條目直和

這個符號是符合交換律的;所以在兩個子群的直和的情況下,G = H + K = K + H。它還是符合結合律的,在如果 G = H + K 并且 K = L + MG = H + (L + M) = H + L + M 的意義上。

可以表達為非平凡子群的直和的群被叫做“可分解”的;否則叫做“不可分解”的。

如果 G = H + K,則可以證明:

  • 對於所有 H 中的 hK 中的 k,有 h*k = k*h
  • 對於所有 G 中的 g,存在唯一的 H 中的 hK 中的 k 使得 g = h*k
  • 有直和在商群中的消除,即 (H + K)/K 同構於 H

上述斷言可以推廣到 G = ∑Hi 的情況,這里的 {Hi} 是子群的有限集合。

  • 如果 ij,則對于所有 Hi 中的 hiHj 中的 hj,有著 hi * hj = hj * hi
  • 對於每個 G 中的 g,有唯一的 {hiHi} 使得
g = h1*h2* ... * hi * ... * hn
  • 有直和在商群中的消除;即 ((∑Hi) + K)/K 同構於 ∑Hi

注意類似於直積,這里的每個 g 可以唯一的表達為

g = (h1,h2, ..., hi, ..., hn)。

因為 hi * hj = hj * hi 對於所有 ij,可推出在直和中的元素的乘積同構於對應的在直積中的元素的乘積;因此對於子群的有限集合,∑Hi 同構於直積 ×{Hi}。

直和的等價[编辑]

直和對於群不是唯一的;例如在克萊因四元群 V4 = C2 × C2 中,我們有

V4 = <(0,1)> + <(1,0)> 和
V4 = <(1,1)> + <(1,0)>。

但是,Remak-Krull-Schmidt定理聲稱給定有限群 G = ∑Ai = ∑Bj,這里的每個 Ai 和每個 Bj 都是不平凡的并且不可分解的,則兩直和分別涉及到的子群在重新排序后同构意义下是等價的。

Remak-Krull-Schmidt 定理對無限群無效,所以在無限 G = H + K = L + M 的情況下,即使在所有子群都是非平凡的并且不可分解的,我們不能假定 H 同構於要么 L 要么 M

推廣到在無限集合上的和[编辑]

如果我們希望在 G 是子群的無限(可能不可數)集合的直和的情況下描述上述性質,我們需要更加的小心。

如果 g 是群的集合的笛卡爾積 ∏{Hi} 的元素,設 gi 是在乘積中的 g 的第 i 個元素。 群的集合 {Hi} 的外直和(寫為 ∑E{Hi}) 是 ∏{Hi} 的子集,這里對於每個 ∑E{Hi} 的元素 ggi 是單位元 e_{H_i} 對於除了有限個之外的所有 gi (等價的說只有有限個 gi 不是單位元)。在外直和中的群運算是逐點乘法,如在平常直積中那樣。

應當容易的明白這個子集確實形成了群;對于群 Hi 的無限集合,外直和同一於直積。

那么如果 G = ∑Hi,則 G 同構於 ∑E{Hi}。因此在某種意義上,直和是“內部”外直和。我們有了對於每個 G 中的元素 g,有一個唯一有限集合 S 和唯一的 {hiHi : iS} 使得 g = ∏ {hi : iS}。