意外绞刑悖论

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意外绞刑悖论,又稱虎噬悖论虎悖论老虎悖论,是博弈论中一个著名的逻辑悖论,流传较广。而悖论是指一种导致矛盾的命题。

虎噬悖论[编辑]

有一天,某個国王处决一个死囚,但给他一个免死的机会。國王把囚犯带到一個房間,該房間有五道紧闭的门,其中一道門后面关着一只老虎。国王对囚犯说:“這五道門各有次序,你必须由第一道至第五道依序打开,其中一道門後有老虎,會把你咬死。但我可以肯定的是,在你没有打开那道有老虎的门之前,你萬萬料想不到老虎在哪一道门的後面。”显然,如果死囚預料到老虎在哪道門後面,就证明国王在撒谎,那麼他就可以活命。所以开门之前,死囚进行了如下邏輯學的分析:假如老虎在第五道门,那把前四道门打开,都没发现老虎,那肯定猜到老虎在第五道门中,因国王说过死囚料想不到老虎在哪一道门,那国王的话就错了。所以,國王不會把老虎放在第五道门。同理,老虎也不在第四道门中,否则囚犯打开三道门之後,就只剩两道门,老虎既不在第五道门,就一定在第四道门,這樣他就猜出老虎在哪了;以此类推,老虎不存在於任何一道门中;於是死囚心安了,冒冒失失地依次開门,结果老虎从第二道门中跳了出来,把囚犯咬死了。国王说:“我不是跟你说了,老虎在哪道门,你萬萬料想不到麼?”

悖论分析[编辑]

如果囚犯的推理成立,那麼就算國王把老虎放在第五扇門後,也是“萬萬料想不到”,學者们爭論的重點在於:這個推理究竟錯在第幾步?

主張錯在第一步[编辑]

如果第一步是正确的,那么后面几步为什么是错的?所以第一步就错了。错在囚犯把国王的思路作为论据。

首先必须定义怎样算国王所谓的“知道”(或“意料”),如果投机猜测算的话,那国王不论怎样放都不能保证不被猜中,所以带投机成分的猜测不能算“知道”(国王为了自身利益也会这么定义),设“知道”定义为“在即有事实下的逻辑推理”,那么囚犯不仅要正确预测老虎,还要对其预测给出严格的逻辑证明才行。本例中不考虑没有老虎的情况,即囚犯已知必有1老虎。作为囚犯,他在每次打开一个门前都会进行逻辑推理,如果能推出老虎是在即将打开的门里就赢了,如果不能推出,他就只能打开这个门,如果打开后没有老虎就继续推理下一个门是否有老虎,依此类推。

然后,把问题从5个门,简化为只有2个门,囚犯会在打开第一个门之前,对第一个门里是否有老虎做逻辑推理:由于囚犯要引用国王的思路,故须先考虑国王思路是否是会错。

  1. 如果相信国王是不会错的,那么你不可能推测出第一个门里有没有,因为如果推测出就说明国王会错,所以在这个前提下不可能知道。 囚犯无法推测出第一个门里有没有老虎,必然要打开第一个门。
  2. 如果相信国王是会错的:
    囚犯首先认为国王放第二个门是错的,但国王既然是会错的,他为何不会按囚犯认为错误的思路放第二个门呢?所以国王的思路就没法唯一的推测了。囚犯失去国王的思路做论据,无法推测出第一个门里有没有老虎,必然要打开第一个门。

因此国王应且只应放到第一个门中,则国王必胜。

推广到n个门的情况,只要国王不把老虎放到最后一个门,则国王必胜,囚犯必败。

主張錯在第二步[编辑]

故事中的囚犯最後決定相信“沒有老虎”。但,國王並不知道囚犯是否會這樣,所以的確不可能把老虎放在第五扇門。如果囚犯決定相信“一定有老虎”,那麼在前四扇門都沒有老虎之後,第五扇門後的老虎的確就變成“可預料的”了。

既然老虎在第五扇門的話,牠一定是“可預料的”,那麼當你已經開了三扇空門時,情況是怎麼樣?我們可以試著寫成邏輯式子:前提一、老虎不可預料。前提二、老虎如果在第五扇門時,可預料。前提三、老虎不在第五扇門時,就一定在第四扇門。前提四、老虎如果在第四扇門時,可預料。結論:前提互相矛盾。

請注意:這時的邏輯推理中,既然前提互相矛盾,必定有一個以上不成立,那麼可能性就是以下四個其中之一、或是更多:

  1. 老虎可預料。
  2. 老虎如果在第五扇門時,不可預料。
  3. 老虎不在第五扇門時,也不一定在第四扇門。
  4. 老虎如果在第四扇門時,不可預料。

二和四自身是矛盾命題,不考慮,三會導致老虎變成薛定諤貓,也就是既存在亦非存在的狀態(囚犯把老虎往前門推是錯誤的,因為前提中包含「已經開了三扇空門」)。所以可能性只有一個:老虎可預料。但若老虎可預料,那麼顯示國王說謊,如果國王可能說謊,那麼老虎也真的有可能消失。

這時的正確結論是:國王一定說謊,但他的謊言可能是“老虎可預料”,卻也可能是“根本沒老虎”,囚犯只是偏心於一個可能性,結果幫國王圓謊罷了。

主張錯在最後一步[编辑]

如果“不可預料”並不是一種保證,而只意味“高機率”,“有老虎”才是保證,那麼情況又整個改觀。可以列成以下狀況:

如果囚犯連猜五次“老虎不在”,則不可預料率100%,當然是最糟的狀況。

如果囚犯連猜五次“老虎在”,這時應將不可預料率一樣視為100%。假設國王隨便放,因為平均猜錯次數是兩次,亦即猜錯一次要加不可預料率50%才公平。

假設國王隨便放,這時囚犯採用的策略,以:

  1. 先兩次不猜,再連續猜老虎在:成功率0、0、100、50、0,平均30最高分
  2. 先三次不猜,再連續猜老虎在:成功率0、0、0、100、50,平均也是30最高分
  3. 但以上兩種高分解,前兩扇門都是安全門,必須混合下列解答靈活運用
  4. 如果第一次就猜老虎在:成功率100、-50、-50、50、0,平均只有10分
  5. 如果第二次就猜老虎在:成功率0、100、50、0、-50,平均也有20分
  6. 為了便於計算,假設這四種策略囚犯都平均運用,綜合以上,老虎放在不同門的平均不可預料率,75%、87.5%、75%、50%、100%

很明顯了,這時國王的對應策略,如果把老虎放在失分最低的第五扇門,可能被囚犯豪賭賭中,所以把老虎放在失分次低的第二扇門會是最佳選擇,只要把囚犯的猜中率壓在20%以下,都可以毫無愧色說是有很高的不可預料率。

他應該從“老虎不存在”這個矛盾的結論,導出國王所謂的“不可預料”其實是指機率,再從機率上推測國王到底把老虎放在第幾個門。

意外绞刑悖论[编辑]

一位司法大臣宣布,將於礼拜一到礼拜天之間,出乎囚犯意料之外的一天,对某一位死囚处以绞刑,並會在前一天事先宣布。

該死囚开始邏輯推论:从礼拜一到礼拜天都可能处死我,而我是不知道究竟会是哪一天,所以哪一天都算是出乎我的意料之外。可是假设我顺利的活到了礼拜六,我不就可以确定要在礼拜天把我殺了?这样的话,就在我的意料之中了。禮拜天已經被排除了,如果我活到了礼拜五,我又可以确信不会在礼拜六處刑,如果禮拜六要殺我,也算是我的意料之中。如果继续往前推的话,他不能在任何一天把我绞死。”

可是到了礼拜三,他却得到了次日要把他送上絞刑架的消息。事实上,这是他没有预料到的。

解疑[编辑]

死囚的推论幾乎都是假设。事实上在禮拜天以外的任何一日处死他,對他來說都是意料之外的。

突擊測驗悖論(Unexpected exam paradox)[编辑]

一名老師宣布:「下星期一至星期五之中,會有一天舉行突擊測驗,所謂突擊測驗,就是在你們猜不到的日子考試。」學生們進行邏輯推理,若假設直到星期四還未考,那麼星期五就會考,那就不算突擊,因此星期五不可能考。若星期三沒考,而星期五又不會考,大家就知道禮拜四會考……也算不了突擊。以此類推,老師根本不可能進行突擊測驗。可实际上突击测验的决定权在老师身上,禮拜二老師就發了考卷。

外部連結[编辑]