考克斯特群

维基百科,自由的百科全书
跳转至: 导航搜索

數學中,考克斯特群是一類由空間中對超平面的鏡射生成的。這類群廣泛出現於數學的各分支中,二面體群與正多胞體的對稱群都是例子;此外,根系對應到的外爾群也是考克斯特群。這類群以數學家哈羅德·斯科特·麥克唐納·考克斯特命名。

形式定義[编辑]

所謂考克斯特群,是一個群 配上如下的展示(即一組生成元與關係):

其中 滿足

  • 對稱性-

在此 意指 之間沒有關係。注意到性質三蘊含 ;若,則

令這組生成元為 。資料 稱為考克斯特群。方陣 稱為考克斯特矩陣

性質[编辑]

有限考克斯特群的分類

為考克斯特群,可證明存在一個有限維實矢量空間 及其上的非退化雙線性形 (未必正定),使得 同構於正交群 的某個子群。由於 的元素均為二階,可視之為 中對某些超平面的鏡射。

利用 的展示,定義元素的長度如下:對 ,定義其長度 為所有表法 中最短的 。由此可導出

例子[编辑]

  • 對稱群 是考克斯特群。在此可取 為置換 ;關係為
  • 正多胞體的對稱:正多胞體的對稱群是有限考克斯特群。舉例明之:正多邊形的對稱群是二面體群,正 n 維單形的對稱群是前述的 ,又稱為 型的考克斯特群。n 維超正方體的對稱群為 正十二面體正二十面體的對稱群是 。在四維空間中,存在三種特別的正多胞體──正二十四胞體正一百二十胞體正六百胞體,其對稱群分別是 可以由某些半正多胞體的對稱群得到。
  • 外爾群:每個根系的外爾群都是有限考克斯特群。
  • 仿射外爾群:仿射外爾群是無限群,但帶有一個正則阿貝爾子群,使得對應的商群是個外爾群。

分類[编辑]

一般而言,兩個群展示的同構與否是無法判定的。然而對考克斯特群則有一個簡單的判準,稱為交換條件。可以透過考克斯特-丹金圖分類有限考克斯特群。圖的構造方式為:

  1. 每個生成元對應到一個頂點。
  2. ,則頂點 之間有邊相連。
  3. ,則將邊標上

文獻[编辑]

  • Larry C Grove and Clark T. Benson, Finite Reflection Groups (1985), Graduate texts in mathematics, vol. 99, Springer.
  • Paul Garrett, Buildings and Classical Groups (1997), Chapman Hall. ISBN 0-412-06331-X . PostScript 檔案下載 .
  • James E. Humphreys, Reflection Groups and Coxeter Groups (1990), Cambridge studies in advanced mathematics, 29.