考克斯特群

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數學中,考克斯特群是一類由空間中對超平面的鏡射生成的。這類群廣泛出現於數學的各分支中,二面體群與正多胞體的對稱群都是例子;此外,根系對應到的外爾群也是考克斯特群。這類群以數學家哈羅德·斯科特·麥克唐納·考克斯特命名。

形式定義[编辑]

所謂考克斯特群,是一個群 W 配上如下的展示(即一組生成元與關係):

\left\langle r_1,r_2,\ldots,r_n \mid (r_ir_j)^{m_{ij}}=1\right\rangle

其中 m_{ij} \in \N \cup \{\infty\} 滿足

  • 對稱性- m_{ij}=m_{ji}
  • i \neq j \Rightarrow m_{ij} \geq 2
  • m_{ii} = 1

在此 m_{ij} = \infty 意指 r_i, r_j 之間沒有關係。注意到性質三蘊含 r_i^2 = e;若m_{ij}=2,則 r_i r_j = r_j r_i

令這組生成元為 S。資料 (W,S) 稱為考克斯特群。方陣 (m_{ij})_{ij} 稱為考克斯特矩陣

性質[编辑]

有限考克斯特群的分類

(W,S) 為考克斯特群,可證明存在一個有限維實矢量空間 V 及其上的非退化雙線性形 q(未必正定),使得 W 同構於正交群 O(q) 的某個子群。由於 S 的元素均為二階,可視之為 (V,q) 中對某些超平面的鏡射。

利用 (W,S) 的展示,定義元素的長度如下:對 w \in W,定義其長度 \ell(w) 為所有表法 w = r_{i_1} \cdots r_{i_s} \; (r_j \in S) 中最短的 s。由此可導出

\forall s \in S, \; \ell(ws) = \ell(w) \pm 1
\ell(w^{-1}) = \ell(w)

例子[编辑]

  • 對稱群 S_n 是考克斯特群。在此可取 S 為置換 (1,2), (2,3), \ldots, (n-1,n);關係為 ((k,k+1)(k+1,k+2))^3 = 1
  • 外爾群:每個根系的外爾群都是有限考克斯特群。
  • 仿射外爾群:仿射外爾群是無限群,但帶有一個正則阿貝爾子群,使得對應的商群是個外爾群。

分類[编辑]

一般而言,兩個群展示的同構與否是無法判定的。然而對考克斯特群則有一個簡單的判準,稱為交換條件。可以透過考克斯特-丹金圖分類有限考克斯特群。圖的構造方式為:

  1. 每個生成元對應到一個頂點。
  2. m_{ij} \geq 3,則頂點 r_i, r_j 之間有邊相連。
  3. m_{ij} \geq 4,則將邊標上 m_{ij}

文獻[编辑]

  • Larry C Grove and Clark T. Benson, Finite Reflection Groups (1985), Graduate texts in mathematics, vol. 99, Springer.
  • Paul Garrett, Buildings and Classical Groups (1997), Chapman Hall. ISBN 0-412-06331-X . PostScript 檔案下載 .
  • James E. Humphreys, Reflection Groups and Coxeter Groups (1990), Cambridge studies in advanced mathematics, 29.