在概率论 中, 对定义在相同样本空间[1] 随机变量 X 和Y ，其联合分布 是同时对于X 和Y 的概率分布 。
离散随机变量的联合分布 [ 编辑 ] 对离散随机变量 而言，联合分布概率质量函数 为Pr(X = x & Y = y )，即
P
(
X
=
x
a
n
d
Y
=
y
)
=
P
(
Y
=
y
|
X
=
x
)
P
(
X
=
x
)
=
P
(
X
=
x
|
Y
=
y
)
P
(
Y
=
y
)
.
{\displaystyle P(X=x\;\mathrm {and} \;Y=y)\;=\;P(Y=y|X=x)P(X=x)=P(X=x|Y=y)P(Y=y).\;}
因为是概率分布函数，所以必须有
∑
x
∑
y
P
(
X
=
x
a
n
d
Y
=
y
)
=
1.
{\displaystyle \sum _{x}\sum _{y}P(X=x\ \mathrm {and} \ Y=y)=1.\;}
连续随机变量的联合分布 [ 编辑 ] 类似地，对连续随机变量 而言，联合分布概率密度函数 为f X ,Y x , y )，其中f Y |X y |x )和f X |Y x |y )分别代表X = x 时Y 的条件分布 以及Y = y 时X 的条件分布；f X x )和f Y y )分别代表X 和Y 的边缘分布 。
同样地，因为是概率分布函数，所以必须有
∫
x
∫
y
f
X
,
Y
(
x
,
y
)
d
y
d
x
=
1.
{\displaystyle \int _{x}\int _{y}f_{X,Y}(x,y)\;dy\;dx=1.}
独立变量的联合分布 [ 编辑 ] 對於兩相互獨立 的事件
P
(
X
)
{\displaystyle P(X)}
P
(
Y
)
{\displaystyle P(Y)}
x 和y 而言有离散随机变量
P
(
X
=
x
a
n
d
Y
=
y
)
=
P
(
X
=
x
)
⋅
P
(
Y
=
y
)
{\displaystyle \ P(X=x\ \mathrm {and} \ Y=y)=P(X=x)\cdot P(Y=y)}
p
X
,
Y
(
x
,
y
)
=
p
X
(
x
)
⋅
p
Y
(
y
)
{\displaystyle \ p_{X,Y}(x,y)=p_{X}(x)\cdot p_{Y}(y)}
多元联合分布 [ 编辑 ] 2元联合分布可以推广到任意多元的情况X 1 , ..., X n
f
X
1
,
…
,
X
n
(
x
1
,
…
,
x
n
)
=
f
X
n
|
X
1
,
…
,
X
n
−
1
(
x
n
|
x
1
,
…
,
x
n
−
1
)
f
X
1
,
…
,
X
n
−
1
(
x
1
,
…
,
x
n
−
1
)
.
{\displaystyle f_{X_{1},\ldots ,X_{n}}(x_{1},\ldots ,x_{n})=f_{X_{n}|X_{1},\ldots ,X_{n-1}}(x_{n}|x_{1},\ldots ,x_{n-1})f_{X_{1},\ldots ,X_{n-1}}(x_{1},\ldots ,x_{n-1}).}
相关条目 [ 编辑 ] 外部链接 [ 编辑 ] 有限支集 无限支集 紧支集 半无限区间支集 无限区间支集 可变类型支集 混合连续离散单变量 多元（联合） 定向 退化 和奇异 族
^ Feller, William. An introduction to probability theory and its applications, vol 1, 3rd edition. 1957: 217–218. ISBN 978-0471257080（Eng） .
