联合分布

部分的统计学系列
概率论
概率公理
概率空間 样本空间 基本事件 事件 随机变量 機率測量
对立事件 联合分布 边缘分布 条件概率
統計獨立性 條件獨立 全概率公式 大数定律 贝叶斯定理 布尔不等式
文氏图 樹形圖

在概率论中, 对两个随机变量X和Y，其联合分布是同时对于X和Y的概率分布.

离散随机变量的联合分布

对离散随机变量而言，联合分布概率质量函数为Pr(X = x & Y = y)，即

$P(X=x\;\mathrm {and} \;Y=y)\;=\;P(Y=y|X=x)P(X=x)=P(X=x|Y=y)P(Y=y).\;$$P(X=x\;\mathrm{and}\;Y=y)\;=\;P(Y=y|X=x)P(X=x)= P(X=x|Y=y)P(Y=y).\;$

因为是概率分布函数，所以必须有

$\sum _{x}\sum _{y}P(X=x\ \mathrm {and} \ Y=y)=1.\;$$\sum_x \sum_y P(X=x\ \mathrm{and}\ Y=y) = 1.\;$

连续随机变量的联合分布

类似地，对连续随机变量而言，联合分布概率密度函数为f_X,Y(x, y)，其中f_Y|X(y|x)和f_X|Y(x|y)分别代表X = x时Y的条件分布以及Y = y时X的条件分布；f_X(x)和f_Y(y)分别代表X和Y的边缘分布。

同样地，因为是概率分布函数，所以必须有

$\int _{x}\int _{y}f_{X,Y}(x,y)\;dy\;dx=1.$$\int_x \int_y f_{X,Y}(x,y) \; dy \; dx= 1.$

独立变量的联合分布

對於兩相互獨立的事件$P(X)$$P( X)$及$P(Y)$$P(Y)$，任意x和y而言有离散随机变量$\ P(X=x\ \mathrm {and} \ Y=y)=P(X=x)\cdot P(Y=y)$$\ P(X = x \ \mathrm{and} \ Y = y ) = P( X = x) \cdot P( Y = y)$，或者有连续随机变量$\ p_{X,Y}(x,y)=p_{X}(x)\cdot p_{Y}(y)$$\ p_{X,Y}(x,y) = p_X(x) \cdot p_Y(y)$。

多元联合分布

2元联合分布可以推广到任意多元的情况X₁, ..., X_n

$f_{X_{1},\ldots ,X_{n}}(x_{1},\ldots ,x_{n})=f_{X_{n}|X_{1},\ldots ,X_{n-1}}(x_{n}|x_{1},\ldots ,x_{n-1})f_{X_{1},\ldots ,X_{n-1}}(x_{1},\ldots ,x_{n-1}).$$f_{X_1, \ldots, X_n}(x_1, \ldots, x_n) = f_{X_n | X_1, \ldots, X_{n-1}}( x_n | x_1, \ldots, x_{n-1}) f_{X_1, \ldots, X_{n-1}}( x_1, \ldots, x_{n-1} ) .$

相关条目

• 耦合 (概率)

外部链接

• PlanetMath上Joint continuous density function的資料。