胡列维茨定理

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提示:本条目的主题不是胡尔维茨定理

在数学中,胡列维茨定理代数拓扑的一个基本结论。定理通过“胡列维茨同态”将同伦论同调论联系起来,是庞加莱此前部分结论的推广。胡列维茨定理以維托爾德·胡列維茨英语Witold Hurewicz命名。

定理陈述[编辑]

胡列维茨定理是连接同伦群同调群的关键一环。

绝对版本[编辑]

对于任意空间 和任意正整数 ,都存在群同态(构造见本小节末尾)

称为从 同伦群 阶(整系数)同调群的胡列维茨同态。当 道路连通时,胡列维茨同态等价于标准的阿贝尔化映射

胡列维茨定理声明,若 (n -1)-连通空间,那么对于所有 ,胡列维茨同态都是群同构(当 )或阿贝尔化(当 )。特别地,定理说明第一同伦群(即基本群)的阿贝尔化同构于第一同伦群:

因此,如果 道路连通且 完美群,那么 的第一同调群为零。

此外,当 是(n -1)-连通时(),胡列维茨同态 都是满同态满射)。

胡列维茨同态由如下方式给定:设 为标准生成元,那么胡列维茨映射将同伦类 映射到

相对版本[编辑]

三元版本[编辑]

单纯集合版本[编辑]

拓扑空间的胡列维茨定理对于n-连通、满足阚条件的单纯集合也有对应陈述。[1]

有理胡列维茨定理[编辑]

为单连通拓扑空间,并对于所有 满足 。那么胡列维茨映射

对于 为同构,且对于 是满射。[2][3]

参考资料[编辑]

  1. ^ Goerss, P. G.; Jardine, J. F., Simplicial Homotopy Theory, Progress in Mathematics 174, Basel, Boston, Berlin: Birkhäuser, 1999, ISBN 978-3-7643-6064-1 , III.3.6, 3.7
  2. ^ Klaus, S.; Kreck, M., A quick proof of the rational Hurewicz theorem and a computation of the rational homotopy groups of spheres, Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, 2004, 136: 617–623, doi:10.1017/s0305004103007114 
  3. ^ Cartan, H.; Serre, J. P., Espaces fibres et groupes d'homotopie, II, Applications, C. R. Acad. Sci. Paris, 1952, 2 (34): 393–395