臨界穩定

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臨界穩定(marginally stable)是在动力系统控制理论中,針對系統穩定性的描述,線性时不变系统若不是漸近穩定,但也不是不稳定,就屬於臨界穩定。系統若會回到某特定狀態,而且會維持在該狀態附近(稱為穩態),即為穩定。若系統不受限制地離原狀態越來越遠,即為不穩定。臨界穩定的系統介於上述二個情形之間,若離某一穩態一段距離,系統不會回到穩態,但也不會不受限制地偏離穩態。臨界穩定有時也稱為是隨遇穩定(neutral stability)[1]

臨界穩定和不穩定都是在控制理論中要設法避免的。理想的控制系統會希望在受到外擾擾動後,當外擾消除後,系統可以回到理想的狀態。因此需要設計控制演算法以達到此一目的。

计量经济学中,若觀察的時間序列中有出現单位根 ,表示有臨界穩定,可能會讓自变量和因变量迴歸分析無效,除非利用適當技術,將系統轉換為穩定系統才能改善此一情形。

連續時間系統[编辑]

齊次英语homogeneous differential equation連續线性时不变系统為臨界穩定的充份必要條件是:系統传递函数中每個极点的實部都為非正值,且其中有一個或多個极点實部為零,且均為相異的單根,而其他的极点實部為負值。若所有的極點實部都是負值,系統漸近穩定,若有極點實部為正,則系統不穩定。

若系統是以状态空间來表示,可以推導其若尔当标准型,再分析是否臨界穩定[2]:系統臨界穩定当且仅当其對於實部為0的若尔当區塊為純量。

離散時間系統[编辑]

齊次離散线性时不变系统為為臨界穩定的充份必要條件是,传递函数中極點絕對值的最大值為1,且絕對值為1的極點都是相異的單根。也就是說,传递函数的谱半径為1,若谱半径小於1,系統會收斂。

以下是一個一階線性差分方程英语linear difference equation的例子:假設狀態變數 x的方程如下

其參數a > 0。若系統受擾動,偏離,其後續數列會是。若a < 1,不論啟始值為何,數列會漸漸接近零。若a > 1,數值會漸漸變到無限大。但若a = 1,數列不會發散,也不會收斂,數列會維持,因此a = 1的例子即為臨界穩定。

系統響應[编辑]

臨界穩定是指一系統若給予有限振幅的狄拉克δ函数為輸入,系統不會發散到無限大,但也不會收斂到零。輸出會持續出現一定大小的偏移或是振盪,一般而言也不會有最終的穩態輸出。若連續系統輸入的頻率恰好是純虛數極點對應的頻率,系統輸出會無限制的增加(即為共振[3])。這也就是針對有界輸入有界輸出穩定性系統,其極點實部需要為負值(不只是非正值而已)的原因。

若連續系統有純虛數的极点,其輸出會有持續的振盪。例如沒有阻尼的二階系統,也就是沒有阻尼及摩擦力,彈簧為理想彈簧的彈簧-質量系統即為一例,此時會持續的振盪。另一個例子是沒有摩擦力的單擺,其系統在原點處也是臨界穩定。

若要臨界穩定,需要有极点恰好在虛軸(連續時間系統)上或是在單位圓(離散時間系統)上,因此在實際系統中,除非此系統在本質上就有這種特性,不然很少出現這樣的系統。

随机过程[编辑]

在随机过程中,臨界穩定也是很重要的概念,例如有些過程會依循離散時間下的隨機漫步

其中独立同分布误差,此方程有单位根 (计量经济学)(其特徵方程英语characteristic equation (of difference equation)的特徵值有出現1),因此會有臨界穩定,需要使用特殊的時間序列技巧,以經驗方式為有此方程的系統進行建模。

相關條目[编辑]

參考資料[编辑]

  1. ^ Gene F. Franklin; J. David Powell; Abbas Emami-Naeini. Feedback Control of Dynamic Systems 5. Pearson Education. 2006. ISBN 0-13-149930-0. 
  2. ^ Karl J. Åström and Richard M. Murray. Linear Systems. Feedback Systems Wiki. Caltech. [11 August 2014]. 
  3. ^ Pure Resonance. MIT. [2 September 2015].