自然對數

的
函數圖像
自然对数

的積分定義
自然对数(英語:Natural logarithm)為以数学常数e為底數的对数函数,標記作
或
,其反函数為指數函數
。[註 1]
自然对数积分定義為對任何正實數
,由
到
所圍成,
曲線下的面積 。如果
小於1,則計算面積為負數。

則定義為唯一的實數
使得
。
自然对数一般表示為
,數學中亦有以
表示自然對數。 [1][註 2]
十七世纪[编辑]
雙曲線扇形是
笛卡爾平面
上的一個區域,由從原點到

和

的射線,以及
雙曲線
圍成。在標準位置的雙曲線扇形有

且

,它的面積為
[2],此時雙曲線扇形對應正
雙曲角。
當直角雙曲線下的兩段面積相等時,

的值呈
等比數列,

,

的值也呈等比數列,

。
約翰·納皮爾在1614年[3]以及约斯特·比尔吉在6年後[4],分別發表了獨立編制的對數表,當時通過對接近1的底數的大量乘冪運算,來找到指定範圍和精度的對數和所對應的真數,當時還沒出現有理數冪的概念。按後世的觀點,约斯特·比尔吉的底數1.000110000相當接近自然對數的底數
,而約翰·納皮爾的底數0.999999910000000相當接近
[5]。實際上不需要做開高次方這種艱難運算,約翰·納皮爾用了20年時間進行相當於數百萬次乘法的計算,Henry Briggs建議納皮爾改用10為底數未果,他用自己的方法[6]於1624年部份完成了常用對數表的編制。
形如
的曲線都有一個代數反導數,除了特殊情況
對應於雙曲線的弓形面積,即雙曲線扇形;其他情況都由1635年發表的卡瓦列里弓形面積公式給出[7],其中拋物線的弓形面積由公元前3世紀的阿基米德完成(拋物線的弓形面積),雙曲線的弓形面積需要發明一個新函數。1647年Grégoire de Saint-Vincent將對數聯繫於雙曲線
的弓形面積,他發現x軸上
兩點對應的雙曲線線段與原點圍成的雙曲線扇形同
對應的扇形,在
時面積相同,這指出了雙曲線從
到
的積分
滿足[8]:

1649年,Alphonse Antonio de Sarasa將雙曲線下的面積解釋為對數。大約1665年,伊薩克·牛頓推廣了二項式定理,他將
展開並逐項積分,得到了自然對數的無窮級數。“自然對數”最早描述見於尼古拉斯·麥卡托在1668年出版的著作《Logarithmotechnia》中[9],他也獨立發現了同樣的級數,即自然對數的麥卡托級數。
十八世纪[编辑]
大約1730年,歐拉定義互為逆函數的指數函數和自然對數為[10][11]:


1742年威廉·琼斯發表了現在的冪指數概念[12]。
形式定義[编辑]
歐拉定義自然對數為序列的極限:

正式定義為積分,

這個函數為對數是因滿足對數的基本性質:

這可以通過將定義了
的積分拆分為兩部份,並在第二部份中進行換元
來證實:

冪公式
可如下推出:

第二個等式使用了換元
。
自然對數還有在某些情況下更有用的另一個積分表示:



- (參見複數對數)





證明
|
|
自然對數的圖像和它在

處的切線。

的泰勒多項式只在

範圍內有逐步精確的近似。
自然對數的導數為

證明一 (微積分第一基本定理):
證明二: 按此影片 (页面存档备份,存于互联网档案馆)


![=\lim _{{h\to 0}}\left[{\frac {1}{h}}\ln \left(1+{\frac {h}{x}}\right)\right]\quad](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f0d8ec064c03dca33ec9440c431407ea9090bbe1)

设


![=\lim _{{u\to 0}}\ln \left[(1+u)^{{\frac {1}{u}}}\right]^{{\frac {1}{x}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a1cdcd1187e5294c22ac0293d87549d6e1eef9a)

设

![={\frac {1}{x}}\ln \left[\lim _{{n\to \infty }}\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}\right]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e0380744b61c8586952f38a93d51089fad2b6c3)


用自然對數定義的更一般的對數函數,
,根據其逆函數即一般指數函數的性質,它的導數為[13][14]:

根據鏈式法則,以
為參數的自然對數的導數為
![{\frac {d}{dx}}\ln[f(x)]={\frac {f'(x)}{f(x)}}.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d12207bb467c5467b6f0587fd9e0f56a983e4c4)
右手端的商叫做
的對數導數,通過
的導數的方法計算
叫做對數微分[15]。
冪級數[编辑]
自然對數的導數性質導致了
在0處的泰勒級數,也叫做麥卡托級數:
- 對於所有
但不包括
把
代入
中,可得到
自身的級數。通過在麥卡托級數上使用歐拉變換,可以得到對絕對值大於1的任何
有效的如下級數:

這個級數類似於贝利-波尔温-普劳夫公式。
還要注意到
是自身的逆函數,所以要生成特定數
的自然對數,簡單把
代入
中。
- 對於

自然數的倒數的總和

叫做調和級數。它與自然對數有密切聯繫:當
趨於無窮的時候,差

收斂於欧拉-马歇罗尼常数。這個關係有助於分析算法比如快速排序的性能。[16]
自然對數通過分部積分法積分:

假設:


所以:

自然對數可以簡化形如
的函數的積分:
的一個原函數給出為
。這是基於鏈式法則和如下事實:

換句話說,

且

下面是
的例子:

設
且
:

與雙曲函數的關係[编辑]
射線出原點交
單位雙曲線
於點

,這裡的

是射線、雙曲線和

軸圍成的面積的二倍。對於雙曲線上位於x軸下方的點,這個面積被認為是負值。
在18世紀,約翰·海因里希·蘭伯特介入雙曲函數[17],並計算雙曲幾何中雙曲三角形的面積[18]。對數函數是在直角雙曲線
下定義的,可構造雙曲線直角三角形,底邊在線
上,一個頂點是原點,另一個頂點在雙曲線。這裡以自然對數即雙曲角作為參數的函數,是自然對數的逆函數指數函數,即要形成指定雙曲角
,在漸近線即x或y軸上需要有的
或
的值。顯見這裡的底邊是
,垂線是
。
通過旋轉和縮小線性變換,得到單位雙曲線下的情況,有:


單位雙曲線中雙曲線扇形的面積是對應直角雙曲線
下雙曲角的
。
連分數[编辑]
儘管自然對數沒有簡單的連分數,但有一些廣義連分數如:


這些連分數特別是最後一個對接近1的值快速收斂。但是,更大的數的自然對數,可以輕易的用這些更小的數的自然對數的加法來計算,帶有類似的快速收斂。
例如,因為
,2的自然對數可以計算為:

進而,因為
,10的自然對數可以計算為:

複數對數[编辑]
指數函數可以擴展為對任何複數
得出複數值為
的函數,只需要簡單使用
為複數的無窮級數;這個指數函數的逆函數形成複數對數,並帶有正常的對數的多數性質。但是它涉及到了兩個困難: 不存在
使得
;並且有著
。因為乘法性質仍適用於複數指數函數,
,對於所有複數
和整數
。
所以對數不能定義在整個複平面上,並且它是多值函數,就是說任何複數對數都可以增加
的任何整數倍而成為等價的對數。複數對數只能在切割平面上是單值函數。例如,
或
或
等等;儘管
,
不能定義為
或
或
,以此類推。
主值定義[编辑]
對於每個非0複數
,主值
是虛部位於區間
內的對數。表達式
不做定義,因為沒有複數
滿足
。
要對
給出一個公式,可以先將
表達為極坐標形式,
。給定
,極坐標形式不是確切唯一的,因為有可能向
增加
的整數倍,所以為了保證唯一性而要求
位於區間
內;這個
叫做幅角的主值,有時寫為
或
。則對數的主值可以定義為[19] :

例如,
。
科学應用[编辑]
自然指数有应用於表达放射衰变(放射性)之类关于衰減的过程,如放射性原子数目的微分方程
随时间变化率
,常数
为原子衰变概率,积分得
。
参考资料[编辑]
- ^ 例如哈代和賴特所著的《數論入門》"Introduction to the theory of numbers" (1.7, Sixth edition, Oxford 2008)的注解 "log x is, of course the 'Napierian' logarithm of x, to base e. 'Common' logarithms have no mathematical interest."(log x 當然是以e為基,x的「納皮爾」對數。「常用」對數在數學上毫無重要。)
- ^ 證明:從1到b積分1/x,增加三角形{(0, 0), (1, 0), (1, 1)},並減去三角形{(0, 0), (b, 0), (b, 1/b)}。
- ^ Ernest William Hobson, John Napier and the invention of logarithms, 1614, Cambridge: The University Press, 1914
- ^ Boyer, Carl B., 14,Section "Jobst Bürgi", A History of Mathematics, New York: John Wiley & Sons, 1991, ISBN 978-0-471-54397-8
- ^ 選取接近e的底數b,對數表涉及的bx為單調增函數,定義域為0到1而值域為1到b;選取接近1/e的底數b,對數表涉及的bx為單調減函數,定義域為0到∞而值域為1到0。
- ^ 以
這個接近1的數為基礎。
- ^ 博納文圖拉·卡瓦列里在1635年的《Geometria indivisibilibus continuorum nova quadam ratione promota》中給出定積分:

其不定積分形式為:

獨立發現者還有:皮埃爾·德·費馬、Gilles de Roberval和埃萬傑利斯塔·托里拆利。
- ^ 設a=1,x軸上[a,b]兩點對應的雙曲線線段與原點圍成的雙曲線扇形面積為f(b),[c,d]對應的扇形面積為f(d)-f(c),d=bc,即為f(bc)-f(c),當且僅當f(bc)=f(b)+f(c)時,兩雙曲線扇形面積相等。
- ^ J. J. O'Connor; E. F. Robertson, The number e, The MacTutor History of Mathematics archive, September 2001 [2009-02-02], (原始内容存档于2012-02-19)
- ^
卡瓦列里弓形面積公式,對於負數值的n(x的負數冪),由於在x = 0處有個奇點,因此定積分的下限為1,而不是0,即為:

歐拉的自然對數定義:

- ^ Maor, Eli, e: The Story of a Number, Princeton University Press, 2009, ISBN 978-0-691-14134-3 ,sections 1, 1.
Eves, Howard Whitley, An introduction to the history of mathematics, The Saunders series 6th, Philadelphia: Saunders, 1992, ISBN 978-0-03-029558-4 , section 9-3
Boyer, Carl B., A History of Mathematics, New York: John Wiley & Sons, 1991, ISBN 978-0-471-54397-8 , p. 484, 489
- ^

在最初的概念下,底數是接近1的數,而對數是整數;經過簡單變換後,底數變大了,成為接近數學常量e的數,而對數變小了,成為 x/n。
- ^ Lang 1997, section IV.2
- ^ Wolfram, Stephen. "Calculation of d/dx(Log(b,x))". from Wolfram Alpha: Computational Knowledge Engine, Wolfram Research. (原始内容存档于2011-07-18) (英语).
- ^ Kline, Morris, Calculus: an intuitive and physical approach, Dover books on mathematics, New York: Dover Publications, 1998, ISBN 978-0-486-40453-0 , p. 386
- ^ Havil, Julian, Gamma: Exploring Euler's Constant, Princeton University Press, 2003, ISBN 978-0-691-09983-5 , sections 11.5 and 13.8
- ^ Eves, Howard, Foundations and Fundamental Concepts of Mathematics, Courier Dover Publications: 59, 2012, ISBN 9780486132204,
We also owe to Lambert the first systematic development of the theory of hyperbolic functions and, indeed, our present notation for these functions.
- ^ Ratcliffe, John, Foundations of Hyperbolic Manifolds, Graduate Texts in Mathematics 149, Springer: 99, 2006 [2014-03-28], ISBN 9780387331973, (原始内容存档于2014-01-12),
That the area of a hyperbolic triangle is proportional to its angle defect first appeared in Lambert's monograph Theorie der Parallellinien, which was published posthumously in 1786.
- ^ Sarason, Section IV.9.
延伸阅读[编辑]
- John B. Conway, Functions of one complex variable, 2nd edition, Springer, 1978.
- Serge Lang, Complex analysis, 3rd edition, Springer-Verlag, 1993.
- Gino Moretti, Functions of a Complex Variable, Prentice-Hall, Inc., 1964.
- Donald Sarason, Complex function theory (页面存档备份,存于互联网档案馆), 2nd edition, American Mathematical Society, 2007.
- E. T. Whittaker and G. N. Watson, A Course in Modern Analysis, fourth edition, Cambridge University Press, 1927.