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自由度 (统计学)

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統計學中,自由度英语:degree of freedom, df)是指当以样本的统计量来估计总体参数时,样本中独立或能自由变化的数据的个数,称为该统计量的自由度[1]。一般來說,自由度等於獨立變數減掉其衍生量數[2];舉例來說,變異數的定義是樣本減平均值(一個由樣本決定的衍伸量),因此對N個隨機樣本而言,其自由度為N-1[3]

數學上,自由度是一個隨機向量的維度數,也就是一個向量能被完整描述所需的最少單位向量數。舉例來說,從電腦螢幕到廚房的位移能夠用三維向量來描述,因此這個位移向量的自由度是3。自由度也通常與這些向量的座標平方和,以及卡方分布中的參數有所關聯。

範例[编辑]

  • 若存在兩個變數, ,而 那麼他的自由度為1。因為其實只有才能真正的自由變化,會被選值的不同所限制。
  • 估计总体的平均数)时,由于样本中的个数都是相互独立的,任一個尚未抽出的數都不受已抽出任何数值的影響,所以自由度为
  • 估计总体的方差)时所使用的統計量是樣本的方差,而必須用到樣本平均數來計算。在抽樣完成後已確定,所以大小為的樣本中只要个数确定了,第個數就只有一個能使樣本符合的數值。也就是說,樣本中只有個數可以自由變化,只要確定了這個數,方差也就确定了。这裡,平均數就相当于一个限制条件,由于加了这个限制条件,樣本方差的自由度为
  • 统计模型的自由度等于可自由取值的自变量的个数。如在回归方程中,如果共有个参数需要估计,则其中包括了个自变量(与截距对应的自变量是常量)。因此该回归方程的自由度为
  • 如果用刀剖柚子,在北极点沿经线方向割3刀,得6个角。这6个角可视为3对。6个角的平均角度一定是60度。其中半边3个角中,只会有2个可以自由选择,一旦2个数值确定第3个角也会唯一地确定。在总和已知的情况下,切分角的个数比能够自由切分的个数大1。

參考文獻[编辑]

  1. ^ Degrees of Freedom. "Glossary of Statistical Terms". Animated Software. [2008-08-21]. 
  2. ^ Walker, H. M. Degrees of Freedom. Journal of Educational Psychology. April 1940, 31 (4): 253–269. doi:10.1037/h0054588. 
  3. ^ Lane, David M. Degrees of Freedom. HyperStat Online. Statistics Solutions. [2008-08-21].