舒尔正交关系

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舒尔正交关系Schur orthogonality relations)描述了有限表示中的核心事实。它可以推广到一般的紧群,特别是紧李群,比如旋转群 SO(3)。

有限群[编辑]

\Gamma^{(\lambda)} (R)_{mn} 是一个 |G| 阶(即 G 有 |G| 个元素)有限群 G=\{R\} 的一个不可约矩阵表示 \Gamma^{(\lambda)} 的矩阵元素。因为可以证明任何有限群的不可约矩阵表示等价于一个酉表示,我们假设 \Gamma^{(\lambda)} 是酉的:


   \sum_{n=1}^{l_\lambda} \; \Gamma^{(\lambda)} (R)_{nm}^*\;\Gamma^{(\lambda)} (R)_{nk} = \delta_{mk} \quad \hbox{for all}\quad R \in G,

这里 l_\lambda 是表示 \Gamma^{(\lambda)} 的(有限)维数[1]

正交关系,只对不可约表示的矩阵元素成立,是


   \sum_{R\in G}^{|G|} \; \Gamma^{(\lambda)} (R)_{nm}^*\;\Gamma^{(\mu)} (R)_{n'm'} = 
\delta_{\lambda\mu} \delta_{nn'}\delta_{mm'} \frac{|G|}{l_\lambda}.

这里 \Gamma^{(\lambda)} (R)_{nm}^*\Gamma^{(\lambda)} (R)_{nm}\,複共轭,求和遍及 G 的所有元素。如果两个矩阵是在同一个不可约表示 \Gamma^{(\lambda)}= \Gamma^{(\mu)},则克罗内克δ \delta_{\lambda\mu} 是单位。如果 \Gamma^{(\lambda)}\Gamma^{(\mu)} 不等价则为零。其他两个克罗内克δ说行与列的指标必须相等(n=n'm=m')为了得到一个非消没的结果。这个定义也叫做广义正交定理

每个群有一个单位表示(所有群元素映为实数 1)。这显然是一个不可约表示。舒尔正交关系马上给出


   \sum_{R\in G}^{|G|} \; \Gamma^{(\mu)} (R)_{nm} = 0

n,m=1,\ldots,l_\mu 以及任何不等于单位表示的不可约表示 \Gamma^{(\mu)}\,

例子[编辑]

三个对象的 3! 个置换组成一个 6 阶群,通常记作 S_3对称群)。这个群同构于点群 C_{3v},由三重旋转轴以及三个铅直镜面平面组成。这个群有一个二维不可约表示(l = 2)。在 S_3 情形,通常将这个不可约表示利用杨氏表Young tableau)记作  \lambda = [2,1] 而在 C_{3v} 情形通常写成  \lambda = E。在两种情形不可约表示都由如下六个实矩阵组成,每个代表一个群元素[2]


\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1 \\
\end{pmatrix}
\quad
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\0 & -1 \\
\end{pmatrix}
\quad
\begin{pmatrix}
-\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \\
\frac{\sqrt{3}}{2}& \frac{1}{2} \\ 
\end{pmatrix}
\quad
\begin{pmatrix}
-\frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\
-\frac{\sqrt{3}}{2}& \frac{1}{2} \\ 
\end{pmatrix}
\quad
\begin{pmatrix}
-\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \\
-\frac{\sqrt{3}}{2}& -\frac{1}{2} \\ 
\end{pmatrix}
\quad
\begin{pmatrix}
-\frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\
\frac{\sqrt{3}}{2}& -\frac{1}{2} \\ 
\end{pmatrix}

元素 (1,1) 的正规化为:

 \sum_{R\in G}^{6} \; \Gamma(R)_{11}^*\;\Gamma(R)_{11} = 1^2+1^2+\left(-\tfrac{1}{2}\right)^2+\left(-\tfrac{1}{2}\right)^2 +\left(-\tfrac{1}{2}\right)^2 +\left(-\tfrac{1}{2}\right)^2
= 3 .

同样可以证明其它矩阵元素 (2,2)、(1,2) 与 (2,1) 的正规化。元素 (1,1) 与 (2,2) 的正交性:

 \sum_{R\in G}^{6} \; \Gamma(R)_{11}^*\;\Gamma(R)_{22} = 1^2+(1)(-1)+\left(-\tfrac{1}{2}\right)\left(\tfrac{1}{2}\right)
+\left(-\tfrac{1}{2}\right)\left(\tfrac{1}{2}\right)
 +\left(-\tfrac{1}{2}\right)^2 +\left(-\tfrac{1}{2}\right)^2
= 0 .

类似的关系对元素 (1,1) 与 (1,2) 的正交性成立,如是等等。容易验证此例中所有对应矩阵元素之和为零,因为给定表示与恒等表示的正交性。

直接推论[编辑]

矩阵的是对角矩阵元素之和,

\operatorname{Tr}\big(\Gamma(R)\big) = \sum_{m=1}^{l} \Gamma(R)_{mm}.

所有迹的集合 \chi \equiv \{\operatorname{Tr}\big(\Gamma(R)\big)\;|\; R \in G\} 是一个表示的特征标。通常将一个不可约表示中矩阵的迹写成 \chi^{(\lambda)}

\chi^{(\lambda)} (R)\equiv \operatorname{Tr}\left(\Gamma^{(\lambda)}(R)\right).

利用这种记号我们可写出多个特征标公式:

\sum_{R\in G}^{|G|} \chi^{(\lambda)}(R)^* \, \chi^{(\mu)}(R)= \delta_{\lambda\mu} |G|,

这可以用来检验一个表示是否是可约的(这些公式说明在任意特征标表中一行是正交向量)。以及

\sum_{R\in G}^{|G|} \chi^{(\lambda)}(R)^* \, \chi(R) = n^{(\lambda)} |G|,

这帮助我们确认不可约表示 \Gamma^{(\lambda)} 在具有特征标 \chi(R) 的可约表示 \Gamma \, 中包含的次数。

例如,如果

n^{(\lambda)}\, |G| = 96

这个群的阶是

|G| = 24\,

\Gamma^{(\lambda)}\, 在给定“可约”表示 \Gamma \, 中包含的次数是

n^{(\lambda)} = 4\, .

关于群特征表参见特征标理论

紧群[编辑]

有限群的正交关系推广为紧群(包含紧李群,比如 SO(3))本质上是简单的:只要将在群上的求和换成在群上的积分。

每个紧群 G 有惟一一个双不变哈尔测度,使得群的体积是 1。将这个测度记成 dg。设 ( \pi^\alpha )G 的不可约表示的一个完备集合,设 \phi^\alpha_{v,w}(g)=<v,\pi^\alpha(g)w> 是表示 \pi^\alpha矩阵系数。正交关系可以叙述为两部分 1) 如果 \pi^\alpha \ncong \pi^\beta 则:


\int_G \phi^\alpha_{v,w}(g)\phi^\beta_{v',w'}(g)dg=0

2)如果 \{e_i\} 是表示空间 \pi^\alpha 的一个正交规范基,则:


d^\alpha\int_G \phi^\alpha_{e_i,e_j}(g)\phi^\alpha_{e_m,e_n}(g)dg=\delta_{i,m}\delta_{j,n}

这里 d^\alpha\pi^\alpha 的维数。这些正交关系以及所有表示的维数有限是彼得-外尔定理的推论。

SO(3)[编辑]

一个三参数群的例子是矩阵群 SO(3),有所有 3×3 正交矩阵组成。这个群的一个可能的参数化是利用欧拉角\mathbf{x} = (\alpha, \beta, \gamma)。界限是 0 \le\alpha, \gamma \le 2\pi 以及 0 \le \beta \le\pi

体积元素  \omega(\mathbf{x})\, dx_1 dx_2\cdots dx_r 的计算不仅取决于参数的选取,也取决于最终结果,即加权函数(测度) \omega(\mathbf{x}) 的解析形式。

例如,SO(3) 的欧拉角参数化给出权重 \omega(\alpha,\beta,\gamma) = \sin\! \beta \,,,而 n, ψ 参数化给出权重t \omega(\psi,\theta,\phi) = 2(1-\cos\psi)\sin\!\theta\, ,其中 0\le \psi \le \pi, \;\; 0 \le\phi\le 2\pi,\;\; 0 \le \theta \le \pi

可以证明一个紧李群的不可约表示是有限维的并可选成酉的:


    \Gamma^{(\lambda)}(R^{-1}) =\Gamma^{(\lambda)}(R)^{-1}=\Gamma^{(\lambda)}(R)^\dagger\quad \hbox{with}\quad \Gamma^{(\lambda)}(R)^\dagger_{mn} \equiv \Gamma^{(\lambda)}(R)^*_{nm}.

简记成


    \Gamma^{(\lambda)}(\mathbf{x})= \Gamma^{(\lambda)}\Big(R(\mathbf{x})\Big)

正交关系具有形式


    \int_{x_1^0}^{x_1^1} \cdots \int_{x_r^0}^{x_r^1}\; \Gamma^{(\lambda)}(\mathbf{x})^*_{nm} \Gamma^{(\mu)}(\mathbf{x})_{n'm'}\; \omega(\mathbf{x}) dx_1\cdots dx_r \; = \delta_{\lambda \mu} \delta_{n n'} \delta_{m m'} \frac{|G|}{l_\lambda},

群的体积是


    |G| = \int_{x_1^0}^{x_1^1} \cdots \int_{x_r^0}^{x_r^1} \omega(\mathbf{x}) dx_1\cdots dx_r .

我们注意到 SO(3) 的不可约表示是维格纳D-矩阵Wigner D-matrixD^\ell(\alpha \beta \gamma),它们的维数是 2\ell+1 。故


    |SO(3)| = \int_{0}^{2\pi} d\alpha \int_{0}^{\pi} \sin\!\beta\, d\beta \int_{0}^{2\pi} d\gamma = 8\pi^2,

它们满足


    \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{\pi} \int_{0}^{2\pi} D^{\ell}(\alpha \beta\gamma)^*_{nm} \; D^{\ell'}(\alpha \beta\gamma)_{n'm'}\; \sin\!\beta\, d\alpha\, d\beta\, d\gamma = \delta_{\ell\ell'}\delta_{nn'}\delta_{mm'} \frac{8\pi^2}{2\ell+1}.

脚注[编辑]

  1. ^ l_\lambda 的有限性是由于一个有限群 G 的不可约表示包含于正则表示
  2. ^ 这种选择不是惟一的,这个矩阵的任意正交相似变换给出一个等价的不可约表示。

参考文献[编辑]

任何以物理或化学为目的的群论书籍中都会提到正交关系。下面更高等的书籍给出了证明:

  • M. Hamermesh, Group Theory and its Applications to Physical Problems, Addison-Wesley, Reading (1962). (Reprinted by Dover).
  • W. Miller, Jr., Symmetry Groups and their Applications, Academic Press, New York (1972).
  • J. F. Cornwell, Group Theory in Physics, (Three volumes), Volume 1, Academic Press, New York (1997).