芬斯拉不等式

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芬斯拉不等式(Finsler's Inequality)是一条反映了三角形三边与其面积之间的关系的几何不等式。

设△ABC的三边长分别为a, b, c,面积为S,则

a^2+b^2+c^2 \ge 4\sqrt{3}S (当且仅当a=b=c时,等号成立)……(1)

证明一:如图,因任意△ABC的三条高至少有一条在△ABC内,不妨设BC边上的高AD在△ABC内,设AD=hBD=mDC=n,则有

a^2=(m+n)^2b^2=h^2+n^2c^2=h^2+m^2S=\frac{(m+n)h}{2}
[h-\tfrac{\sqrt{3}(m+n)h}{2}]^2+[\tfrac{(m-n)h}{2}]^2 \ge  0 ……(2)

等号当且仅当h=\tfrac{\sqrt{3}(m+n)}{2},且m=n时,即△ABC为正三角形时成立。展开(2)式并整理可得

(m+n)^2+h^2+n^2+h^2+m^2 \ge 2\sqrt{3}(m+n)h
a^2+b^2+c^2 \ge 4\sqrt{3}S。(当a=b=c时,等号成立)

注:证明的关键是巧妙在构造不等式(2),为此必须首先猜想到当a=b=c时,正三角形的面积最大,此时有m=nh=\tfrac{\sqrt{3}(m+n)}{2},利用这两个公式就可造出不等式(2)。


证明二:由余弦定理及三角形面积公式,

a^2+b^2+c^2-4\sqrt{3}S
=a^2+b^2+(a^2+b^2-2ab \cos C)-2\sqrt{3}ab \sin C
=2[a^2+b^2-2ab \sin (C+30°)
\ge 2(a^2+b^2-2ab)=2(a-b)^2 \ge 0

当且仅当a=b,∠C=60°,即a=b=c时,等号成立。


芬斯拉不等式的推广[编辑]

1、若a、b、c、d为四边形的四条边,S为其面积,则有

a^2+b^2+c^2+d^2 \ge 4S

等号当且仅当四边形为正方形时成立。

2、若L_{1}L_{2}、……、L_{n}为n边形的边长,S为其面积,则有

L_1^2 + L_2^2 + …… L_n^2 \ge 4S\tan\tfrac{\pi}{n} (n \ge 3)

等号当且仅当这个n边形为正n边形时成立。