芬斯拉不等式

维基百科,自由的百科全书
跳转至: 导航搜索

芬斯拉不等式(Finsler's Inequality)是一条反映了三角形三边与其面积之间的关系的几何不等式。

设△ABC的三边长分别为, , ,面积为,则

(当且仅当时,等号成立)……(1)

证明一:如图,因任意△ABC的三条高至少有一条在△ABC内,不妨设BC边上的高AD在△ABC内,设,则有

……(2)

等号当且仅当,且时,即△ABC为正三角形时成立。展开(2)式并整理可得

。(当时,等号成立)

注:证明的关键是巧妙在构造不等式(2),为此必须首先猜想到当时,正三角形的面积最大,此时有,利用这两个公式就可造出不等式(2)。


证明二:由余弦定理及三角形面积公式,

(C+30°)

当且仅当,∠C=60°,即时,等号成立。


芬斯拉不等式的推广[编辑]

1、若a、b、c、d为四边形的四条边,S为其面积,则有

等号当且仅当四边形为正方形时成立。

2、若、……、为n边形的边长,S为其面积,则有

……

等号当且仅当这个n边形为正n边形时成立。