范德蒙矩陣

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線性代數中,范德蒙矩陣的命名來自Alexandre-Théophile Vandermonde的名字,范德蒙矩陣是一個各列呈現出幾何級數關係的矩陣,例如:

V=\begin{bmatrix}
1 & \alpha_1 & \alpha_1^2 & \dots & \alpha_1^{n-1}\\
1 & \alpha_2 & \alpha_2^2 & \dots & \alpha_2^{n-1}\\
1 & \alpha_3 & \alpha_3^2 & \dots & \alpha_3^{n-1}\\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots &\vdots \\
1 & \alpha_m & \alpha_m^2 & \dots & \alpha_m^{n-1}\\
\end{bmatrix}

或以第 i 行第 j 列的關係寫作:

V_{i,j} = \alpha_i^{j-1}

(部分作者將上述矩陣寫成轉置後的形式,也就是一整排的 1 不列在左邊,而是列在上面。)

n階范德蒙矩陣的行列式可以表示為:

\det(V) = \prod_{1\le i<j\le n} (\alpha_j-\alpha_i)

\alpha_i各不相同时,\det(V)不为零。

上述的行列式又稱作判別式

給行列式使用萊布尼玆公式

 \det(V) = \sum_{\sigma \in S_n} \sgn(\sigma) \, \alpha_1^{\sigma(1)-1} \cdots \alpha_n^{\sigma(n)-1},

可以把公式改寫為

\prod_{1\le i<j\le n} (\alpha_j-\alpha_i) = \sum_{\sigma \in S_n} \sgn(\sigma) \, \alpha_1^{\sigma(1)-1} \cdots \alpha_n^{\sigma(n)-1},

Sn 指的是 {1, 2, ..., n} 的排列集,sgn(σ) 指的是排列 σ 的奇偶性。

mn,則矩陣 V 有最大的 rank (m)。

參閱[编辑]